Der Beweis für \(n = 4\)¶
Zusammenfassung
Fermats einziger überlieferter Fallbeweis von FLT. Die Methode des unendlichen Abstiegs zeigt: \(x^4 + y^4 = z^2\) hat keine Lösung in positiven ganzen Zahlen.
Voraussetzungen¶
| Thema | Beschreibung |
|---|---|
| Teilbarkeit und ggT | Teilerfremdheit, \(\gcd\), Euklidischer Algorithmus |
| Beweisarten | Widerspruchsbeweis und vollständige Induktion |
| Gleichungen | Äquivalente Umformungen |
| Pythagoras und pythagoräische Tripel | \(a^2 + b^2 = c^2\) und ganzzahlige Lösungen |
| Modulare Arithmetik | Kongruenzen und Paritätsargumente |
1. Die Methode des unendlichen Abstiegs¶
Der unendliche Abstieg (descente infinie) ist eine Beweistechnik, die Fermat selbst entwickelte. Die Grundidee:
Angenommen, eine Gleichung hätte eine Lösung in positiven ganzen Zahlen. Dann lässt sich aus dieser Lösung eine kleinere Lösung konstruieren – eine Lösung, bei der die beteiligten Zahlen echt kleiner sind. Aus der kleineren Lösung ergibt sich eine noch kleinere, und so weiter – ad infinitum.
Positive ganze Zahlen können jedoch nicht unendlich klein werden. Es gibt kein unendliches Absteigen in \(\mathbb{Z}^+\). Die Annahme ist also falsch, und die Gleichung hat keine Lösung.
Formal nutzt der Abstieg das Wohlordnungsprinzip: Jede nichtleere Teilmenge von \(\mathbb{N}\) hat ein kleinstes Element. Eine unendlich absteigende Folge positiver ganzer Zahlen kann es daher nicht geben.
„I have discovered a truly marvellous demonstration [...] which this margin is too narrow to contain." — Pierre de Fermat, Randnotiz zur Arithmetica (ca. 1637)
Abstieg vs. Widerspruch
Der unendliche Abstieg ist ein spezieller Widerspruchsbeweis: Die Annahme einer Lösung führt zu einer unmöglichen Konsequenz (einer unendlich absteigenden Folge). In moderner Formulierung äquivalent: Eine minimale Lösung wird betrachtet, und es wird gezeigt, dass eine noch kleinere existieren müsste – Widerspruch.
2. Pythagoreische Tripel¶
Für den Beweis des Falls \(n = 4\) ist ein klassisches Ergebnis erforderlich: die vollständige Beschreibung aller Lösungen von \(x^2 + y^2 = z^2\) (siehe Pythagoras und pythagoräische Tripel).
Satz (Parametrisierung der pythagoreischen Tripel). Alle primitiven pythagoreischen Tripel \((x, y, z)\) mit \(\gcd(x, y) = 1\) (teilerfremd) und \(x\) gerade haben die Form:
wobei \(s > t > 0\), \(\gcd(s, t) = 1\) und \(s \not\equiv t \pmod{2}\) (also \(s\) und \(t\) verschiedener Parität).
Beweisskizze. Es gilt \(x^2 = z^2 - y^2 = (z-y)(z+y)\). Da \((x, y, z)\) primitiv ist, sind \(z - y\) und \(z + y\) teilerfremd (bis auf den Faktor 2). Da \(x\) gerade ist, sind \(z\) und \(y\) beide ungerade, also \(z - y\) und \(z + y\) beide gerade. Mit \(z - y = 2u\) und \(z + y = 2v\) folgt \(x^2 = 4uv\) mit \(\gcd(u, v) = 1\). Da das Produkt \(uv\) ein Quadrat und die Faktoren teilerfremd sind, müssen \(u\) und \(v\) selbst Quadrate sein: \(u = t^2\), \(v = s^2\). Einsetzen liefert die Parametrisierung. \(\square\)
Beispiele:
| \(s\) | \(t\) | \(x = 2st\) | \(y = s^2 - t^2\) | \(z = s^2 + t^2\) |
|---|---|---|---|---|
| 2 | 1 | 4 | 3 | 5 |
| 3 | 2 | 12 | 5 | 13 |
| 4 | 1 | 8 | 15 | 17 |
| 4 | 3 | 24 | 7 | 25 |
3. Von FLT zu einer stärkeren Aussage¶
Fermats Beweis für \(n = 4\) zeigt nicht direkt, dass \(x^4 + y^4 = z^4\) keine Lösung hat, sondern die stärkere Aussage:
Satz (Fermat)
Die Gleichung \(x^4 + y^4 = z^2\) hat keine Lösung in positiven ganzen Zahlen.
Die Implikation: Da \(z^4 = (z^2)^2\) ein spezielles Quadrat ist, folgt aus der Nichtexistenz von Lösungen für \(z^2\) auf der rechten Seite erst recht die Nichtexistenz für \(z^4\).
Also: \(x^4 + y^4 = z^2\) hat keine Lösung \(\implies\) \(x^4 + y^4 = z^4\) hat keine Lösung.
4. Der Beweis im Detail¶
Zu zeigen: \(x^4 + y^4 = z^2\) hat keine Lösung in \(x, y, z \in \mathbb{Z}^+\).
Annahme zum Widerspruch. Sei \((x, y, z)\) eine Lösung mit minimalem \(z\). Ohne Einschränkung gelte \(\gcd(x, y) = 1\) (andernfalls ergibt Herauskürzen des gemeinsamen Faktors eine kleinere Lösung).
Schritt 1: Pythagoreische Tripel anwenden.
Die Gleichung \(x^4 + y^4 = z^2\) lässt sich als \((x^2)^2 + (y^2)^2 = z^2\) lesen – ein pythagoreisches Tripel. Da \(\gcd(x, y) = 1\) ist das Tripel primitiv. Ohne Einschränkung sei \(x\) gerade (sonst Vertauschung von \(x\) und \(y\)). Dann existieren \(s, t\) mit \(s > t > 0\), \(\gcd(s, t) = 1\), \(s \not\equiv t \pmod{2}\), sodass:
Schritt 2: Zweites pythagoreisches Tripel.
Aus \(y^2 = s^2 - t^2\) folgt \(y^2 + t^2 = s^2\) – erneut ein pythagoreisches Tripel. Da \(\gcd(s, t) = 1\) und \(s \not\equiv t \pmod{2}\) ist auch dieses Tripel primitiv. Da \(y\) ungerade ist (\(x\) gerade und \(\gcd(x, y) = 1\)), ist \(t\) gerade. Die Parametrisierung liefert \(u, v\) mit \(u > v > 0\), \(\gcd(u, v) = 1\), \(u \not\equiv v \pmod{2}\):
Schritt 3: Analyse von \(x^2\) als Produkt.
Einsetzen von \(s = u^2 + v^2\) und \(t = 2uv\) in \(x^2 = 2st\):
Also \((x/2)^2 = uv(u^2 + v^2)\). Da \(\gcd(u, v) = 1\), sind die drei Faktoren \(u\), \(v\) und \(u^2 + v^2\) paarweise teilerfremd. Ihr Produkt ist ein Quadrat, also muss jeder einzelne Faktor ein Quadrat sein:
für gewisse positive ganze Zahlen \(a, b, c\).
Schritt 4: Der Abstieg.
Aus \(u^2 + v^2 = c^2\) und \(u = a^2\), \(v = b^2\) folgt:
Dieselbe Gleichung wie die Ausgangsgleichung. Und es gilt:
Also \(c < z\) – eine kleinere Lösung.
Widerspruch. \((x, y, z)\) war als Lösung mit minimalem \(z\) gewählt, aber \((a, b, c)\) ist eine Lösung mit \(c < z\). \(\blacksquare\)
5. Struktur des Abstiegs¶
Die Beweisstruktur im Überblick:
Lösung (x, y, z) mit z minimal
→ Parametrisierung als pyth. Tripel → (s, t)
→ Zweites pyth. Tripel → (u, v)
→ Drei teilerfremde Quadrate → (a², b², c²)
→ Neue Lösung (a, b, c) mit c < z
→ WIDERSPRUCH
Der Schlüssel: Jeder Schritt verkleinert die Zahlen. Von \(z\) über \(s\) (kleiner als \(z\)) über \(u\) und \(v\) (kleiner als \(s\)) bis zu \(c\) (kleiner als \(z\)). Die Wohlordnung von \(\mathbb{N}\) garantiert, dass dieser Prozess nicht unendlich weitergehen kann.
„The method of infinite descent is Fermat's most important legacy to number theory." — Harold M. Edwards, Fermat's Last Theorem (1977), S. 9
Die stärkere Aussage als Notwendigkeit
Fermats Wahl von \(z^2\) statt \(z^4\) ist kein Zufall. Im Abstieg entsteht die Gleichung \(a^4 + b^4 = c^2\) – nur wenn die rechte Seite ein allgemeines Quadrat sein darf (nicht nur eine vierte Potenz), schließt sich der Induktionskreis. Bei \(x^4 + y^4 = z^4\) allein wäre die im Abstieg entstehende Gleichung nicht von derselben Form – der Beweis bräche zusammen.
6. Historische Einordnung¶
Dieser Beweis ist der einzige Fall von FLT, für den Fermat einen nachvollziehbaren Beweis hinterließ. Er erscheint in den Observationes (Anhang zur Arithmetica-Ausgabe von 1670) und beweist dort die Aussage, dass die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks mit ganzzahligen Seiten kein Quadrat sein kann – äquivalent zu \(x^4 + y^4 = z^2\).
Reichweite und Grenzen:
- ✅ FLT gilt für \(n = 4\) (und damit für alle durch \(4\) teilbaren \(n\): \(8, 12, 16, \ldots\))
- ❌ Die Methode lässt sich nicht direkt auf \(n = 3\) übertragen – die einfache Parametrisierung „kubischer Tripel" fehlt
- ❌ Für allgemeine Primzahlen \(p\) versagt der elementare Abstieg
Der Fall \(n = 3\) erfordert einen konzeptuellen Sprung: die Erweiterung des Zahlbereichs von \(\mathbb{Z}\) auf \(\mathbb{Z}[\omega]\). Damit beginnt der Weg zur algebraischen Zahlentheorie (siehe Artikel 04).
Quellen¶
- Pierre de Fermat: Observationes ad Diophantum (1670) – der Originalbeweis
- Harold M. Edwards: Fermat's Last Theorem: A Genetic Introduction to Algebraic Number Theory, Springer (1977)
- Nigel Boston: The Proof of Fermat's Last Theorem (2003), Kapitel 1