Relationen und Äquivalenzklassen¶

Relationen¶

Eine (binäre) Relation auf einer Menge \(M\) ist eine Teilmenge \(R \subseteq M \times M\). Für \((a, b) \in R\) schreibt man \(a \sim b\) (oder \(aRb\)).

Beispiel. Auf \(\mathbb{Z}\) definiert „\(a\) teilt \(b\)" eine Relation: \(a \mid b\) genau dann, wenn \((a, b)\) in der Relation liegt.

Äquivalenzrelationen¶

Eine Relation \(\sim\) auf \(M\) heißt Äquivalenzrelation, wenn sie drei Eigenschaften erfüllt:

Eigenschaft	Bedingung
Reflexivität	\(a \sim a\) für alle \(a \in M\)
Symmetrie	\(a \sim b \implies b \sim a\)
Transitivität	\(a \sim b\) und \(b \sim c \implies a \sim c\)

Beispiel. „Gleicher Rest bei Division durch \(n\)" ist eine Äquivalenzrelation auf \(\mathbb{Z}\):

\[ a \sim b \iff n \mid (a - b) \]

Diese Relation heißt Kongruenz modulo \(n\) und wird als \(a \equiv b \pmod{n}\) geschrieben.

Äquivalenzklassen¶

Die Äquivalenzklasse eines Elements \(a \in M\) bezüglich \(\sim\) ist die Menge aller zu \(a\) äquivalenten Elemente:

\[ [a] = \{x \in M : x \sim a\} \]

„Equivalence relations are ubiquitous in mathematics. They provide the mechanism by which we identify objects that are 'essentially the same'." — Serge Lang, Algebra, Springer, 2002.

Beispiel. Für die Kongruenz modulo \(3\) auf \(\mathbb{Z}\):

\[ [0] = \{\ldots, -6, -3, 0, 3, 6, \ldots\}, \quad [1] = \{\ldots, -5, -2, 1, 4, 7, \ldots\}, \quad [2] = \{\ldots, -4, -1, 2, 5, 8, \ldots\} \]

Diese drei Klassen sind die Restklassen modulo 3.

Eigenschaften¶

Jedes Element gehört zu genau einer Äquivalenzklasse.
Zwei Äquivalenzklassen sind entweder identisch oder disjunkt: \([a] = [b]\) oder \([a] \cap [b] = \emptyset\).
\([a] = [b]\) genau dann, wenn \(a \sim b\).

Partition¶

Eine Partition einer Menge \(M\) ist eine Zerlegung von \(M\) in nichtleere, paarweise disjunkte Teilmengen, deren Vereinigung ganz \(M\) ergibt.

Fundamentaler Zusammenhang: Jede Äquivalenzrelation auf \(M\) erzeugt eine Partition von \(M\) (die Menge der Äquivalenzklassen), und umgekehrt definiert jede Partition eine Äquivalenzrelation.

Die Menge aller Äquivalenzklassen heißt Quotientenmenge (oder Faktormenge):

\[ M / {\sim} = \{[a] : a \in M\} \]

Beispiel. \(\mathbb{Z}/{\equiv_n} = \{[0], [1], \ldots, [n-1]\}\) ist die Menge der Restklassen modulo \(n\), gewöhnlich als \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) geschrieben.

Faktorstrukturen in der Algebra¶

Äquivalenzklassen ermöglichen die Konstruktion neuer algebraischer Strukturen:

Restklassenringe: \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) entsteht durch die Kongruenzrelation modulo \(n\). Addition und Multiplikation werden auf den Klassen definiert: \([a] + [b] = [a+b]\) und \([a] \cdot [b] = [a \cdot b]\).
Faktorgruppen: In einer Gruppe \(G\) mit Normalteiler \(N\) bilden die Nebenklassen \(gN\) eine Gruppe \(G/N\).
Faktorringe: In einem Ring \(R\) mit Ideal \(I\) bilden die Nebenklassen \(a + I\) einen Ring \(R/I\).

Diese Konstruktionen durchziehen die gesamte abstrakte Algebra und sind zentral für die Theorie der Ringe und Körper, die im Beweis von Fermats Letztem Satz eine Rolle spielen.

Zusammenfassung¶

Begriff	Definition
Relation	\(R \subseteq M \times M\)
Äquivalenzrelation	Reflexiv, symmetrisch, transitiv
Äquivalenzklasse	\([a] = \{x \in M : x \sim a\}\)
Partition	Zerlegung in disjunkte, nichtleere Teilmengen
Quotientenmenge	\(M/{\sim} = \{[a] : a \in M\}\)
Restklassen	\(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} = \{[0], [1], \ldots, [n-1]\}\)

Quellen¶

Lang, Serge: Algebra. Springer, 3. Auflage, 2002. Kapitel I.
Bourbaki, Nicolas: Éléments de mathématique: Théorie des ensembles. Springer, 2006. Kapitel II, § 6.