Koordinatengeometrie¶
Das kartesische Koordinatensystem¶
Die Ebene \(\mathbb{R}^2\) wird durch zwei senkrecht aufeinander stehende Achsen (\(x\)-Achse, \(y\)-Achse) mit gemeinsamem Ursprung \(O = (0, 0)\) beschrieben. Jeder Punkt hat ein eindeutiges Koordinatenpaar \((x, y)\).
Abstand und Steigung¶
Abstand zweier Punkte¶
Für \(P_1 = (x_1, y_1)\) und \(P_2 = (x_2, y_2)\):
Dies folgt direkt aus dem Satz des Pythagoras.
Beispiel. \(d((1, 2), (4, 6)) = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\).
Steigung einer Geraden¶
Die Steigung \(m\) einer Geraden durch \(P_1\) und \(P_2\) (mit \(x_1 \neq x_2\)):
Geraden¶
Geradengleichung¶
Die allgemeine Form einer Geraden:
- Normalform: \(y = mx + b\) (Steigung \(m\), \(y\)-Achsenabschnitt \(b\))
- Punkt-Steigungs-Form: \(y - y_1 = m(x - x_1)\)
Beispiel. Gerade durch \((1, 3)\) mit Steigung \(2\): \(y - 3 = 2(x - 1)\), also \(y = 2x + 1\).
Parallele und senkrechte Geraden¶
- Parallel: \(m_1 = m_2\)
- Senkrecht: \(m_1 \cdot m_2 = -1\)
Kurven in der Ebene¶
Eine Kurve ist die Menge aller Punkte \((x, y)\), die eine Gleichung \(F(x, y) = 0\) erfüllen.
Kreis¶
Mittelpunkt \((a, b)\), Radius \(r\).
Parabel¶
Beispiel. \(y = x^2\) — Parabel mit Scheitel im Ursprung, nach oben geöffnet.
Elliptische Kurven (Ausblick)¶
Gleichungen der Form \(y^2 = x^3 + ax + b\) definieren elliptische Kurven. Diese spielen eine zentrale Rolle in der modernen Zahlentheorie und im Beweis von Fermats letztem Satz.
Zusammenfassung¶
| Objekt | Gleichung |
|---|---|
| Abstand | \(d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}\) |
| Gerade | \(y = mx + b\) |
| Kreis | \((x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2\) |
| Parabel | \(y = ax^2 + bx + c\) |
| Elliptische Kurve | \(y^2 = x^3 + ax + b\) |
Quellen¶
- Courant, Richard; Robbins, Herbert: What Is Mathematics? Oxford University Press, 2. Auflage, 1996. Kapitel 4.