Grenzwerte und Konvergenz¶

Folgen¶

Eine Folge reeller Zahlen ist eine Abbildung $\mathbb{N} \to \mathbb{R}$, geschrieben als $(a_n)_{n \geq 1}$ oder kurz $(a_n)$. Die Zahl $a_n$ heißt das $n$-te Glied der Folge.

Beispiel. Die Folge $a_n = \frac{1}{n}$ ergibt $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \ldots$

Konvergenz¶

Eine Folge $(a_n)$ konvergiert gegen den Grenzwert $L \in \mathbb{R}$, wenn für jedes $\varepsilon > 0$ ein $N \in \mathbb{N}$ existiert, sodass:

\[ |a_n - L| < \varepsilon \quad \text{für alle } n \geq N \]

Notation: $\lim_{n \to \infty} a_n = L$ oder $a_n \to L$.

Die Folgenglieder nähern sich $L$ beliebig genau an – ab einem bestimmten Index liegen alle Glieder im Intervall $(L - \varepsilon, L + \varepsilon)$.

Beispiel. $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$, denn für jedes $\varepsilon > 0$ gilt $\frac{1}{n} < \varepsilon$ sobald $n > \frac{1}{\varepsilon}$.

Eine Folge, die nicht konvergiert, heißt divergent.

Rechenregeln¶

Für konvergente Folgen mit $a_n \to A$ und $b_n \to B$ gilt:

$a_n + b_n \to A + B$
$a_n \cdot b_n \to A \cdot B$
$\frac{a_n}{b_n} \to \frac{A}{B}$ (falls $B \neq 0$)

Reihen¶

Eine (unendliche) Reihe ist die Folge der Partialsummen einer Folge $(a_k)$:

\[ S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k = a_1 + a_2 + \cdots + a_n \]

Die Reihe $\sum_{k=1}^{\infty} a_k$ konvergiert, wenn die Folge $(S_n)$ konvergiert:

\[ \sum_{k=1}^{\infty} a_k = \lim_{n \to \infty} S_n \]

Geometrische Reihe¶

Die wichtigste Reihe der elementaren Analysis: Für $|q| < 1$ gilt:

\[ \sum_{k=0}^{\infty} q^k = \frac{1}{1-q} \]

Beispiel. $\sum_{k=0}^{\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^k = \frac{1}{1 - 1/2} = 2$.

Für $|q| \geq 1$ divergiert die geometrische Reihe.

Notwendige Bedingung¶

Konvergiert $\sum a_k$, dann gilt $a_k \to 0$. Die Umkehrung ist falsch: Die harmonische Reihe $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k}$ divergiert, obwohl $\frac{1}{k} \to 0$.

Cauchy-Folgen¶

Eine Folge $(a_n)$ heißt Cauchy-Folge, wenn die Folgenglieder untereinander beliebig nahe kommen: Für jedes $\varepsilon > 0$ existiert ein $N$ mit:

\[ |a_m - a_n| < \varepsilon \quad \text{für alle } m, n \geq N \]

„The concept of Cauchy sequence captures convergence without reference to the limit itself." — Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis, McGraw-Hill, 1976.

In $\mathbb{R}$ gilt: Eine Folge konvergiert genau dann, wenn sie eine Cauchy-Folge ist. Diese Eigenschaft heißt Vollständigkeit von $\mathbb{R}$.

Vervollständigung¶

Nicht jeder metrische Raum ist vollständig. Die Vervollständigung eines Raums konstruiert einen größeren Raum, in dem alle Cauchy-Folgen konvergieren.

Das zentrale Beispiel in der Zahlentheorie: Die rationalen Zahlen $\mathbb{Q}$ sind nicht vollständig. Ihre Vervollständigung bezüglich des gewöhnlichen Betrags ergibt $\mathbb{R}$. Die Vervollständigung bezüglich des $p$-adischen Betrags ergibt die $p$-adischen Zahlen $\mathbb{Q}_p$ – einen völlig anderen Zahlkörper, der in der modernen Zahlentheorie eine zentrale Rolle spielt.

Zusammenfassung¶

Begriff	Definition
Konvergenz	$\lim_{n\to\infty} a_n = L$: $\forall\varepsilon>0\ \exists N: n\geq N \Rightarrow
Reihe	$\sum_{k=1}^{\infty} a_k = \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{n} a_k$
Geometrische Reihe	$\sum_{k=0}^{\infty} q^k = \frac{1}{1-q}$ für $
Cauchy-Folge	$\forall\varepsilon>0\ \exists N: m,n\geq N \Rightarrow
Vollständigkeit	Jede Cauchy-Folge konvergiert
Vervollständigung	Konstruktion eines vollständigen Raums aus einem unvollständigen

Quellen¶

Rudin, Walter: Principles of Mathematical Analysis. McGraw-Hill, 3. Auflage, 1976. Kapitel 3.
Forster, Otto: Analysis 1. Springer Spektrum, 12. Auflage, 2016. Kapitel 2–4.

Begriff	Definition
Konvergenz	\(\lim_{n\to\infty} a_n = L\): $\forall\varepsilon>0\ \exists N: n\geq N \Rightarrow
Reihe	\(\sum_{k=1}^{\infty} a_k = \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{n} a_k\)
Geometrische Reihe	\(\sum_{k=0}^{\infty} q^k = \frac{1}{1-q}\) für $
Cauchy-Folge	$\forall\varepsilon>0\ \exists N: m,n\geq N \Rightarrow
Vollständigkeit	Jede Cauchy-Folge konvergiert
Vervollständigung	Konstruktion eines vollständigen Raums aus einem unvollständigen