Potenzen und Polynome¶

Potenzen¶

Für \(a \in \mathbb{R}\) und \(n \in \mathbb{N}\) ist die Potenz \(a^n\) definiert als:

\[ a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n \text{ Faktoren}}, \quad a^0 = 1 \;(a \neq 0) \]

Dabei heißt \(a\) die Basis und \(n\) der Exponent.

Potenzgesetze¶

Für \(a, b \neq 0\) und \(m, n \in \mathbb{Z}\):

Gesetz	Formel
Gleiche Basis, Multiplikation	\(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\)
Gleiche Basis, Division	\(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\)
Potenz einer Potenz	\((a^m)^n = a^{m \cdot n}\)
Produkt	\((a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n\)
Quotient	\(\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}\)
Negativer Exponent	\(a^{-n} = \frac{1}{a^n}\)

Beispiel. \(2^3 \cdot 2^4 = 2^7 = 128\).

Beispiel. \((3^2)^3 = 3^6 = 729\).

Polynome¶

Ein Polynom in der Variablen \(x\) ist ein Ausdruck der Form:

\[ p(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_1 x + a_0 = \sum_{k=0}^{n} a_k x^k \]

Die Zahlen \(a_0, a_1, \ldots, a_n\) heißen Koeffizienten. Der Koeffizient \(a_n\) (\(a_n \neq 0\)) heißt Leitkoeffizient.

Grad¶

Der Grad eines Polynoms ist der höchste Exponent mit nicht-verschwindendem Koeffizienten:

\[ \deg(p) = n \quad \text{falls } a_n \neq 0 \]

Beispiele.

\(p(x) = 3x^4 - 2x + 7\) hat Grad \(4\).
\(p(x) = 5\) (konstant, \(\neq 0\)) hat Grad \(0\).
Das Nullpolynom \(p(x) = 0\) hat keinen definierten Grad (Konvention: \(\deg(0) = -\infty\)).

Rechenregeln für den Grad¶

\[ \deg(p \cdot q) = \deg(p) + \deg(q) \]

\[ \deg(p + q) \leq \max(\deg(p), \deg(q)) \]

Nullstellen¶

Eine Nullstelle von \(p(x)\) ist ein Wert \(x_0\) mit \(p(x_0) = 0\). Ein Polynom vom Grad \(n\) hat höchstens \(n\) Nullstellen (über \(\mathbb{R}\), mit Vielfachheit gezählt über \(\mathbb{C}\) genau \(n\)).

Beispiel. \(p(x) = x^2 - 4 = (x-2)(x+2)\) hat Nullstellen \(x = 2\) und \(x = -2\).

Zusammenfassung¶

Begriff	Definition
\(a^n\)	\(a\) multipliziert mit sich selbst, \(n\)-mal
Polynom	\(\sum_{k=0}^n a_k x^k\)
Grad	Höchster Exponent mit \(a_k \neq 0\)
Nullstelle	\(x_0\) mit \(p(x_0) = 0\)

Quellen¶

Lang, Serge: Algebra. Springer, 3. Auflage, 2002. Kapitel 4.