Komplexe Zahlen¶

Die imaginäre Einheit¶

Die Gleichung $x^2 = -1$ besitzt keine Lösung in den reellen Zahlen. Die imaginäre Einheit $i$ wird als Lösung dieser Gleichung definiert:

\[ i^2 = -1 \]

Mit $i$ lassen sich alle quadratischen Gleichungen lösen, auch solche mit negativer Diskriminante.

Darstellung und Grundbegriffe¶

Eine komplexe Zahl hat die Form $z = a + bi$ mit $a, b \in \mathbb{R}$. Dabei heißt $a = \operatorname{Re}(z)$ der Realteil und $b = \operatorname{Im}(z)$ der Imaginärteil.

Die Menge aller komplexen Zahlen wird mit $\mathbb{C}$ bezeichnet:

\[ \mathbb{C} = \{a + bi : a, b \in \mathbb{R}\} \]

Jede reelle Zahl ist eine komplexe Zahl mit $b = 0$, daher gilt $\mathbb{R} \subset \mathbb{C}$.

Konjugation und Betrag¶

Die konjugiert komplexe Zahl zu $z = a + bi$ ist:

\[ \bar{z} = a - bi \]

Der Betrag (Absolutbetrag) von $z$ ist:

\[ |z| = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{z \cdot \bar{z}} \]

Beispiel. Für $z = 3 + 4i$ gilt $\bar{z} = 3 - 4i$ und $|z| = \sqrt{9 + 16} = 5$.

Rechenoperationen¶

Für $z_1 = a + bi$ und $z_2 = c + di$ gelten:

Addition: $$ z_1 + z_2 = (a + c) + (b + d)i $$

Multiplikation (unter Verwendung von $i^2 = -1$): $$ z_1 \cdot z_2 = (ac - bd) + (ad + bc)i $$

Division (Erweitern mit dem Konjugierten des Nenners): $$ \frac{z_1}{z_2} = \frac{z_1 \cdot \bar{z_2}}{|z_2|^2} = \frac{(ac + bd) + (bc - ad)i}{c^2 + d^2} $$

Beispiel. $(2 + 3i)(1 - i) = 2 - 2i + 3i - 3i^2 = 2 + i + 3 = 5 + i$.

Polardarstellung¶

Jede komplexe Zahl $z \neq 0$ lässt sich in Polarform schreiben:

\[ z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi) = r \cdot e^{i\varphi} \]

Dabei ist $r = |z|$ der Betrag und $\varphi = \arg(z)$ das Argument (Winkel zur positiven reellen Achse). Die zweite Gleichung verwendet die Eulersche Formel:

\[ e^{i\varphi} = \cos\varphi + i\sin\varphi \]

„The formula $e^{i\pi} + 1 = 0$ connects the five most important constants in mathematics." — Eli Maor, e: The Story of a Number, Princeton University Press, 1994.

Die Polarform vereinfacht Multiplikation und Potenzierung: Beträge werden multipliziert, Argumente addiert.

Einheitswurzeln¶

Die $n$-ten Einheitswurzeln sind die $n$ Lösungen der Gleichung $z^n = 1$:

\[ \zeta_k = e^{2\pi i k/n}, \quad k = 0, 1, \ldots, n-1 \]

Die Zahl $\zeta = e^{2\pi i/n}$ heißt primitive $n$-te Einheitswurzel. Alle $n$-ten Einheitswurzeln sind Potenzen von $\zeta$: $\{\zeta^0, \zeta^1, \ldots, \zeta^{n-1}\}$.

Beispiel. Die dritten Einheitswurzeln ($n = 3$) sind:

\[ \zeta_0 = 1, \quad \zeta_1 = e^{2\pi i/3} = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i, \quad \zeta_2 = e^{4\pi i/3} = -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i \]

In der Zahlentheorie spielen Einheitswurzeln eine zentrale Rolle, etwa als Basis der Kreisteilungsringe $\mathbb{Z}[\zeta_p]$, die in Kummers Ansatz zum Beweis von Fermats Letztem Satz auftreten.

Die obere Halbebene¶

Die obere Halbebene ist die Menge aller komplexen Zahlen mit positivem Imaginärteil:

\[ \mathbb{H} = \{z \in \mathbb{C} : \operatorname{Im}(z) > 0\} \]

Die obere Halbebene ist der natürliche Definitionsbereich von Modulformen – komplexwertigen Funktionen mit speziellen Symmetrieeigenschaften.

Zusammenfassung¶

Begriff	Definition
Imaginäre Einheit	$i^2 = -1$
Komplexe Zahl	$z = a + bi$ mit $a, b \in \mathbb{R}$
Konjugierte	$\overline{a + bi} = a - bi$
Betrag	$
Eulersche Formel	$e^{i\varphi} = \cos\varphi + i\sin\varphi$
$n$-te Einheitswurzel	$\zeta = e^{2\pi i/n}$
Obere Halbebene	$\mathbb{H} = \{z \in \mathbb{C} : \operatorname{Im}(z) > 0\}$

Quellen¶

Needham, Tristan: Visual Complex Analysis. Oxford University Press, 1997. Kapitel 1–4.
Ahlfors, Lars V.: Complex Analysis. McGraw-Hill, 3. Auflage, 1979. Kapitel 1.
Maor, Eli: e: The Story of a Number. Princeton University Press, 1994.

Begriff	Definition
Imaginäre Einheit	\(i^2 = -1\)
Komplexe Zahl	\(z = a + bi\) mit \(a, b \in \mathbb{R}\)
Konjugierte	\(\overline{a + bi} = a - bi\)
Betrag	$
Eulersche Formel	\(e^{i\varphi} = \cos\varphi + i\sin\varphi\)
\(n\)-te Einheitswurzel	\(\zeta = e^{2\pi i/n}\)
Obere Halbebene	\(\mathbb{H} = \{z \in \mathbb{C} : \operatorname{Im}(z) > 0\}\)