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Krümmung und Ricci-Tensor

Zusammenfassung

Krümmung misst, wie weit eine Riemannsche Mannigfaltigkeit lokal vom euklidischen Raum abweicht. Aus dem Riemannschen Krümmungstensor entstehen durch Spurbildung Schnittkrümmung, Ricci-Tensor und Skalarkrümmung. Der Ricci-Tensor – ein gemittelter Krümmungsbegriff – ist die rechte Seite von Hamiltons Ricci-Fluss.

1. Warum Krümmung?

Eine flache Ebene unterscheidet sich von einer Sphäre dadurch, dass Geodäten dort konvergieren, hier aber parallel bleiben würden. Krümmung fasst dieses Verhalten quantitativ. Auf einer Riemannschen Mannigfaltigkeit \((M, g)\) liefert der Levi-Civita-Zusammenhang (Artikel 01, §6) ein Maß für das Versagen der Vertauschbarkeit kovarianter Ableitungen.

2. Der Riemannsche Krümmungstensor

Für Vektorfelder \(X, Y, Z\) ist

\[R(X,Y)Z = \nabla_X \nabla_Y Z - \nabla_Y \nabla_X Z - \nabla_{[X,Y]} Z.\]

\(R\) ist tensoriell – \(R_p(X,Y)Z\) hängt nur von den Werten von \(X,Y,Z\) am Punkt \(p\) ab. In Indexschreibweise:

\[R^l{}_{ijk} = \partial_i \Gamma^l_{jk} - \partial_j \Gamma^l_{ik} + \Gamma^l_{im}\Gamma^m_{jk} - \Gamma^l_{jm}\Gamma^m_{ik}.\]

Mit gesenktem Index \(R_{lijk} = g_{lm} R^m{}_{ijk}\) gelten die Symmetrien

  • Antisymmetrie: \(R_{lijk} = -R_{iljk}\) und \(R_{lijk} = -R_{likj}\),
  • Block-Symmetrie: \(R_{lijk} = R_{jkli}\),
  • erste Bianchi-Identität: \(R_{l[ijk]} = 0\),
  • zweite Bianchi-Identität: \(\nabla_{[m} R_{li]jk} = 0\).

Diese Symmetrien reduzieren auf einer \(n\)-Mannigfaltigkeit die Anzahl unabhängiger Komponenten von \(n^4\) auf \(\tfrac{1}{12}n^2(n^2-1)\).

3. Schnittkrümmung

Für zwei linear unabhängige Vektoren \(u, v \in T_pM\) ist die Schnittkrümmung der von \(u, v\) aufgespannten Ebene

\[K(u, v) = \frac{g\bigl(R(u,v)v, u\bigr)}{g(u,u)\,g(v,v) - g(u,v)^2}.\]

Sie verallgemeinert den Gauß-Krümmungsbegriff aus der Flächentheorie. Konstante Schnittkrümmung kennzeichnet die drei Modellgeometrien:

Schnittkrümmung Modellraum (Dim. \(n\)) Geometrie
\(K \equiv +1\) Sphäre \(S^n\) sphärisch
\(K \equiv 0\) Euklidischer Raum \(\mathbb{R}^n\) flach
\(K \equiv -1\) Hyperbolischer Raum \(\mathbb{H}^n\) hyperbolisch

Auf 3-Mannigfaltigkeiten ist konstante Schnittkrümmung nicht das Ende der Geschichte – Thurstons Klassifikation kennt acht Modellgeometrien (siehe Artikel 05 in Akt 1).

4. Der Ricci-Tensor

Durch Spurbildung über zwei Indizes des Krümmungstensors entsteht der Ricci-Tensor:

\[\mathrm{Ric}_{jk} = R^i{}_{jik} = g^{im}\,R_{mjik}.\]

Geometrisch beschreibt \(\mathrm{Ric}_p(v,v)\), gemittelt über alle Ebenen durch \(v\), die durchschnittliche Schnittkrümmung in Richtung \(v\). Anschaulicher: Bei einer kleinen Geodäten-„Trompete", die in Richtung \(v\) ausgeht, misst der Ricci-Tensor, wie das infinitesimale Volumenelement entlang der Geodäten verändert wird – positiver Ricci-Tensor zieht zusammen, negativer streut auseinander.

„The Ricci tensor measures the average way in which the volume element distorts as you move along a geodesic." — John W. Morgan & Gang Tian, Ricci Flow and the Poincaré Conjecture (2007), §1.2

Der Ricci-Tensor ist ein symmetrisches \((0,2)\)-Tensorfeld – genau die Form, die zu einer Metrik addiert wieder eine Metrik(-Variation) ergibt. Genau das macht ihn als rechte Seite einer Evolutionsgleichung für \(g\) geeignet.

5. Skalarkrümmung

Eine weitere Spur liefert die Skalarkrümmung:

\[R = g^{jk}\,\mathrm{Ric}_{jk}.\]

Sie ist eine glatte Funktion auf \(M\). Auf \(S^n\) mit Rundmetrik ist \(R = n(n-1)\), auf \(\mathbb{R}^n\) ist \(R = 0\), auf \(\mathbb{H}^n\) ist \(R = -n(n-1)\). In Dimension \(2\) stimmt \(R\) bis auf den Faktor \(2\) mit der Gauß-Krümmung überein und bestimmt nach Gauß-Bonnet die Topologie der Fläche vollständig.

6. Spezialfall Dimension 3

In Dimension 3 hat der Riemannsche Krümmungstensor genauso viele unabhängige Komponenten wie der Ricci-Tensor (jeweils 6). Daraus folgt eine zentrale Identität:

In Dimension 3 ist der volle Krümmungstensor \(R\) algebraisch durch den Ricci-Tensor und die Metrik bestimmt.

Das ist der Grund, warum sich Hamiltons Ricci-Fluss in 3D überhaupt zur Klassifikation eignet: Eine Evolutionsgleichung für \(\mathrm{Ric}\) genügt, um die gesamte Geometrie zu kontrollieren. In höheren Dimensionen geht diese Reduktion verloren – der Weyl-Tensor bleibt übrig und macht das Problem deutlich schwerer.

7. Volumen- und Diameter-Vergleich

Krümmungsschranken übersetzen sich in geometrische und topologische Konsequenzen.

  • Bonnet–Myers: Ist \(\mathrm{Ric} \ge (n-1) k\, g\) mit \(k > 0\), so ist \(M\) kompakt und der Diameter erfüllt \(\mathrm{diam}(M) \le \pi/\sqrt{k}\).
  • Bishop–Gromov: Eine untere Schranke an \(\mathrm{Ric}\) liefert ein oberes Volumenwachstum von Bällen.
  • Cheeger–Gromoll-Splitting: Ist \(\mathrm{Ric} \ge 0\) und enthält \(M\) eine Geraden-Geodäte, so spaltet \(M\) isometrisch als \(N \times \mathbb{R}\) ab.

Diese Vergleichssätze sind zentrale Werkzeuge bei Perelmans Analyse der Ricci-Fluss-Singularitäten.

8. Einstein-Mannigfaltigkeiten

Eine Riemannsche Mannigfaltigkeit heißt Einstein, wenn

\[\mathrm{Ric} = \lambda\, g \quad \text{für ein } \lambda \in \mathbb{R}.\]

Solche Metriken sind Fixpunkte des normalisierten Ricci-Flusses (siehe Artikel 03). Die runde Sphäre, der Euklidische Raum und der hyperbolische Raum sind Einstein, ebenso allgemeiner symmetrische Räume. Das Auffinden Einstein-Metriken auf einer gegebenen Mannigfaltigkeit ist ein eigenes Forschungsfeld (Yamabe-Problem).

9. Auf dem Weg zum Fluss

Mit Riemannscher Metrik (Artikel 01), Krümmungstensor und Ricci-Tensor liegen alle Bausteine bereit, um die Evolutionsgleichung

\[\frac{\partial g}{\partial t} = -2\,\mathrm{Ric}(g)\]

aufzustellen und ihre Wirkung zu analysieren. Das ist Gegenstand des nächsten Artikels.

Quellen

  • John M. Lee, Introduction to Riemannian Manifolds, 2nd ed., Springer (2018), Kap. 7.
  • Manfredo do Carmo, Riemannian Geometry, Birkhäuser (1992), Kap. 4–6.
  • John W. Morgan & Gang Tian, Ricci Flow and the Poincaré Conjecture, AMS Clay Math. Monographs Vol. 3 (2007), §1–2.
  • Peter Petersen, Riemannian Geometry, 3rd ed., Springer (2016), Kap. 3 & 9.

Querverweise