Galois-Theorie¶
Zusammenfassung
Die Lösbarkeit einer Polynomgleichung wird durch die Symmetrien ihrer Nullstellen bestimmt. Galois' Theorie verbindet Körpererweiterungen mit Gruppen – konzeptueller Rahmen für Wiles' Beweis.
Voraussetzungen¶
| Thema | Beschreibung |
|---|---|
| Potenzen und Polynome | Potenzschreibweise \(a^n\) und Polynomrechnung |
| Abbildungen (Funktionen) | \(f: A \to B\), injektiv, surjektiv, bijektiv |
| Komplexe Zahlen | Zahlen \(a + bi\) mit \(i^2 = -1\), Polarform, Einheitswurzeln |
| Zahlenbereiche | \(\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{C}\) und ihre Beziehungen |
1. Das Problem der Lösungsformeln¶
Die Lösungsformel für quadratische Gleichungen ist allgemein bekannt:
Die Nullstellen lassen sich durch die Koeffizienten ausdrücken – mithilfe von Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division und Wurzelziehen.
Für Gleichungen dritten und vierten Grades existieren ebenfalls (kompliziertere) Lösungsformeln, entdeckt von Cardano (1545) und Ferrari. Die Frage: Gibt es auch für Grad \(5\) und höher solche Formeln?
Die Antwort ist nein – und die Begründung führt direkt zur Galois-Theorie.
2. Abels Unmöglichkeitsbeweis¶
Niels Henrik Abel bewies 1824, dass keine allgemeine Lösungsformel für Polynome vom Grad \(\geq 5\) in Radikalen existiert. Es gibt Polynome fünften Grades, deren Nullstellen sich nicht durch endlich viele Wurzeln aus den Koeffizienten ausdrücken lassen.
Abels Beweis ließ eine entscheidende Frage offen: Welche Polynome lassen sich durch Radikale lösen und welche nicht? Ein konkretes Polynom fünften Grades kann durchaus eine Lösung in Radikalen haben – etwa \(x^5 - 2 = 0\) mit \(x = \sqrt[5]{2}\). Abels Theorem besagt nur, dass kein allgemeines Verfahren existiert.
3. Galois' Einsicht¶
Évariste Galois (1811–1832) löste dieses Problem vollständig. Seine zentrale Einsicht: Die Lösbarkeit einer Gleichung wird durch die Symmetrien ihrer Nullstellen bestimmt.
„Since the beginning of this century, computational procedures have become so complicated that any progress by those means has become impossible." — Évariste Galois, Vorwort zum Mémoire (1831)
Gegeben ein Polynom \(f \in \mathbb{Q}[x]\) mit Nullstellen \(\alpha_1, \ldots, \alpha_n \in \overline{\mathbb{Q}}\). Der Zerfällungskörper ist der kleinste Körper, der \(\mathbb{Q}\) und alle Nullstellen enthält:
Eine Symmetrie dieses Körpers ist ein Automorphismus \(\sigma: L \to L\), der \(\mathbb{Q}\) elementweise festhält. Jeder solche Automorphismus permutiert die Nullstellen \(\alpha_1, \ldots, \alpha_n\) – er muss die Gleichung \(f(\alpha_i) = 0\) erhalten.
4. Die Galois-Gruppe¶
Die Galois-Gruppe einer Körpererweiterung \(L/K\) ist die Gruppe aller \(K\)-Automorphismen von \(L\):
Die Verknüpfung ist die Komposition von Abbildungen.
Beispiel: \(\mathbb{Q}(\sqrt{2})/\mathbb{Q}\)¶
Die Erweiterung \(\mathbb{Q}(\sqrt{2}) = \{a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Q}\}\) hat Grad \(2\). Die einzigen \(\mathbb{Q}\)-Automorphismen sind:
- \(\text{id}: \sqrt{2} \mapsto \sqrt{2}\)
- \(\sigma: \sqrt{2} \mapsto -\sqrt{2}\)
Also \(\text{Gal}(\mathbb{Q}(\sqrt{2})/\mathbb{Q}) \cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\).
Beispiel: Zerfällungskörper von \(x^3 - 2\)¶
Die Nullstellen von \(x^3 - 2\) sind \(\sqrt[3]{2}\), \(\omega\sqrt[3]{2}\) und \(\omega^2\sqrt[3]{2}\) (mit \(\omega = e^{2\pi i/3}\)). Der Zerfällungskörper ist \(L = \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}, \omega)\) mit \([L:\mathbb{Q}] = 6\).
Die Galois-Gruppe ist \(\text{Gal}(L/\mathbb{Q}) \cong S_3\) – die symmetrische Gruppe auf \(3\) Elementen. Die Automorphismen permutieren die drei Nullstellen (unter der Einschränkung, dass \(\omega \mapsto \omega\) oder \(\omega \mapsto \omega^2\)).
Beispiel: Kreisteilungskörper¶
Der \(p\)-te Kreisteilungskörper \(\mathbb{Q}(\zeta_p)\) (mit \(\zeta_p = e^{2\pi i/p}\)) hat die Galois-Gruppe:
Die Gruppe der Einheiten modulo \(p\) – abelsch, der Ordnung \(p - 1\). Jeder Automorphismus \(\sigma_a\) sendet \(\zeta_p \mapsto \zeta_p^a\) für ein \(a \in \{1, \ldots, p-1\}\).
5. Der Hauptsatz der Galois-Theorie¶
Der Hauptsatz stellt eine Bijektion zwischen der algebraischen Struktur der Körpererweiterung und der Gruppenstruktur der Galois-Gruppe her.
Satz (Galois-Korrespondenz). Sei \(L/K\) eine endliche Galois-Erweiterung mit Galois-Gruppe \(G = \text{Gal}(L/K)\). Dann gibt es eine inklusionsumkehrende Bijektion:
gegeben durch:
Dabei gilt: - \([M : K] = [G : H]\) (Index der Untergruppe = Grad der Erweiterung) - \(M/K\) ist genau dann eine Galois-Erweiterung, wenn \(H \trianglelefteq G\) (Normalteiler) - In diesem Fall ist \(\text{Gal}(M/K) \cong G/H\)
Die Korrespondenz visualisiert
Körper Gruppen
L {e}
| |
M₂ H₂
| \ / |
M₁ M₃ H₁ H₃
| / \ |
K G
6. Auflösbarkeit¶
Galois' ursprüngliche Frage: Wann lässt sich eine Gleichung durch Radikale lösen? Der Hauptsatz liefert die Antwort.
Definition. Eine Gruppe \(G\) heißt auflösbar, wenn eine Kette von Untergruppen existiert:
wobei jeder Faktor \(G_{i+1}/G_i\) abelsch (zyklisch von Primordnung) ist.
Satz (Galois). Ein Polynom \(f \in K[x]\) ist genau dann durch Radikale auflösbar, wenn seine Galois-Gruppe auflösbar ist.
Konsequenz für Grad \(\geq 5\): Die symmetrische Gruppe \(S_n\) ist für \(n \geq 5\) nicht auflösbar (weil die alternierende Gruppe \(A_n\) für \(n \geq 5\) einfach und nicht abelsch ist). Da Polynome mit Galois-Gruppe \(S_5\) existieren, sind diese nicht durch Radikale auflösbar.
Konsequenz für Grad \(\leq 4\): Die Gruppen \(S_1, S_2, S_3, S_4\) sind alle auflösbar – daher existieren Lösungsformeln für Polynome bis Grad \(4\).
7. Die absolute Galois-Gruppe¶
Für die Zahlentheorie – und insbesondere für Wiles' Beweis – ist nicht die Galois-Gruppe einer einzelnen Erweiterung entscheidend, sondern die absolute Galois-Gruppe:
Die Galois-Gruppe der Erweiterung aller algebraischen Zahlen über \(\mathbb{Q}\). Sie ist eine unendliche, proendliche Gruppe – der projektive Limes aller endlichen Galois-Gruppen \(\text{Gal}(L/\mathbb{Q})\).
\(G_{\mathbb{Q}}\) zählt zu den am intensivsten untersuchten und zugleich am wenigsten verstandenen Objekten der Mathematik. Bekannt sind vor allem ihre Darstellungen – Homomorphismen von \(G_{\mathbb{Q}}\) in Matrizengruppen.
„The Galois group of the algebraic closure of the rationals is an extraordinarily rich and mysterious group." — Barry Mazur, Number Theory as Gadfly, The American Mathematical Monthly 98 (1991)
Galois-Darstellungen¶
Eine (stetige) Galois-Darstellung ist ein Homomorphismus:
für einen geeigneten Körper oder Ring \(K\). Für Wiles' Beweis sind die zweidimensionalen Darstellungen (\(n = 2\)) zentral:
Jede elliptische Kurve \(E\) über \(\mathbb{Q}\) liefert solche Darstellungen – über die Wirkung von \(G_{\mathbb{Q}}\) auf den \(p\)-Teilungspunkten \(E[p]\). Ebenso liefert jede Modulform eine Galois-Darstellung. Die Taniyama-Shimura-Vermutung besagt im Kern: Die Darstellung der elliptischen Kurve ist die Darstellung einer Modulform.
Lokale Galois-Gruppen¶
Für jede Primzahl \(p\) gibt es eine lokale Galois-Gruppe \(G_{\mathbb{Q}_p} = \text{Gal}(\overline{\mathbb{Q}_p}/\mathbb{Q}_p)\). Sie kontrolliert das Verhalten algebraischer Objekte „an der Stelle \(p\)". Jede globale Darstellung \(\rho: G_{\mathbb{Q}} \to \text{GL}_n(K)\) induziert durch Einschränkung lokale Darstellungen:
Das Lokal-Global-Prinzip: Wann bestimmen die lokalen Darstellungen die globale? Diese Frage steht im Zentrum von Wiles' Beweis.
Quellen¶
- Nigel Boston: The Proof of Fermat's Last Theorem (2003), Kapitel 4
- Ian Stewart: Galois Theory, Chapman & Hall (2003)
- Emil Artin: Galois Theory, Dover (1998)
- Barry Mazur: Number Theory as Gadfly, The American Mathematical Monthly 98 (1991), 593–610