Pythagoras und pythagoräische Tripel¶
Der Satz des Pythagoras¶
In einem rechtwinkligen Dreieck mit Katheten \(a\), \(b\) und Hypotenuse \(c\) gilt:
Die Umkehrung gilt ebenfalls: Erfüllen die Seitenlängen eines Dreiecks diese Gleichung, so ist das Dreieck rechtwinklig.
Beispiel. Ein Dreieck mit Seiten \(3, 4, 5\): \(3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2\). ✓
Pythagoräische Tripel¶
Ein pythagoräisches Tripel ist ein Tupel \((a, b, c)\) natürlicher Zahlen mit \(a^2 + b^2 = c^2\).
Beispiele:
| \(a\) | \(b\) | \(c\) | Prüfung |
|---|---|---|---|
| 3 | 4 | 5 | \(9 + 16 = 25\) |
| 5 | 12 | 13 | \(25 + 144 = 169\) |
| 8 | 15 | 17 | \(64 + 225 = 289\) |
Ein Tripel heißt primitiv, wenn \(\gcd(a, b, c) = 1\).
Erzeugung aller primitiven Tripel¶
Alle primitiven pythagoräischen Tripel haben die Form:
mit \(m > n > 0\), \(\gcd(m, n) = 1\) und \(m - n\) ungerade.
Beispiel. \(m = 2, n = 1\): \(a = 4 - 1 = 3\), \(b = 4\), \(c = 4 + 1 = 5\). → \((3, 4, 5)\).
Bezug zu Fermats Gleichung¶
Die Gleichung \(a^2 + b^2 = c^2\) hat unendlich viele ganzzahlige Lösungen.
Fermats letzter Satz besagt: Für \(n \geq 3\) hat die Gleichung
keine Lösung mit \(a, b, c \in \mathbb{Z}^+\). Der Fall \(n = 2\) (Pythagoras) ist also der letzte Exponent, für den ganzzahlige Lösungen existieren.
Zusammenfassung¶
| Begriff | Definition |
|---|---|
| Satz des Pythagoras | \(a^2 + b^2 = c^2\) im rechtwinkligen Dreieck |
| Pythagoräisches Tripel | \((a,b,c) \in \mathbb{N}^3\) mit \(a^2 + b^2 = c^2\) |
| Primitives Tripel | \(\gcd(a,b,c) = 1\) |
| Parametrisierung | \(a = m^2-n^2,\; b = 2mn,\; c = m^2+n^2\) |
Quellen¶
- Hardy, G.H.; Wright, E.M.: An Introduction to the Theory of Numbers. Oxford University Press, 6. Auflage, 2008. Kapitel 13.
- Edwards, Harold M.: Fermat's Last Theorem. Springer, 1977. Kapitel 1.