Elliptische Kurven¶

Zusammenfassung

Algebraische Kurven mit natürlicher Gruppenstruktur. Frey-Kurve, Taniyama-Shimura-Vermutung und Galois-Darstellungen – alle zentralen Objekte in Wiles' Beweis basieren auf elliptischen Kurven.

Voraussetzungen¶

Thema	Beschreibung
Koordinatengeometrie	Punkte, Geraden, Kurven als Gleichungen
Bruchrechnung	Rechnen mit Brüchen $a/b$
Modulare Arithmetik	Kongruenzen $a \equiv b \pmod{n}$ und Restklassen
Abbildungen (Funktionen)	$f: A \to B$, injektiv, surjektiv, bijektiv
Summen- und Produktnotation	$\sum$- und $\prod$-Notation

1. Definition¶

Eine elliptische Kurve über einem Körper $K$ ist eine glatte, projektive Kurve vom Geschlecht $1$ mit einem ausgezeichneten Punkt. In der Praxis die Weierstraß-Form:

\[ E: \quad y^2 = x^3 + ax + b \qquad (a, b \in K) \]

Die Glattheitsbedingung (keine Spitzen oder Selbstüberschneidungen) erfordert eine nichtverschwindende Diskriminante:

\[ \Delta = -16(4a^3 + 27b^2) \neq 0 \]

Geometrisch über $\mathbb{R}$: eine glatte Kurve in der Ebene, bestehend aus einer oder zwei Komponenten.

Warum „elliptisch"?

Der Name hat nichts mit Ellipsen zu tun. Er stammt von den elliptischen Integralen – Integralen der Form $\int \frac{dx}{\sqrt{x^3 + ax + b}}$, die bei der Berechnung des Umfangs einer Ellipse auftreten.

Beispiele¶

Kurve	$a$	$b$	$\Delta$
$y^2 = x^3 - x$	$-1$	$0$	$64$
$y^2 = x^3 + 1$	$0$	$1$	$-432$
$y^2 = x^3 - x + 1$	$-1$	$1$	$-368$

Der Punkt im Unendlichen¶

Technisch lebt eine elliptische Kurve im projektiven Raum $\mathbb{P}^2$. Neben den affinen Punkten $(x, y)$ mit $y^2 = x^3 + ax + b$ gibt es einen zusätzlichen Punkt im Unendlichen $\mathcal{O}$, der als neutrales Element der Gruppenstruktur dient.

2. Die Gruppenoperation¶

Die Punkte einer elliptischen Kurve bilden eine abelsche Gruppe. Die Verknüpfung ist geometrisch über die Sekanten-Tangenten-Methode definiert:

Addition zweier Punkte $P + Q$: 1. Gerade durch $P$ und $Q$ legen 2. Diese Gerade schneidet die Kurve in genau einem dritten Punkt $R'$ 3. $R'$ an der $x$-Achse spiegeln: Das Ergebnis ist $P + Q$

Verdopplung $2P = P + P$: 1. Tangente an die Kurve in $P$ legen 2. Diese Tangente schneidet die Kurve in einem zweiten Punkt $R'$ 3. Spiegeln: Das Ergebnis ist $2P$

Neutrales Element: Der Punkt $\mathcal{O}$ im Unendlichen. Es gilt $P + \mathcal{O} = P$ für alle $P$.

Inverses: Das Inverse von $P = (x, y)$ ist $-P = (x, -y)$ (Spiegelung an der $x$-Achse).

„It is a wonderful fact that this geometric construction gives a group law on the points of an elliptic curve." — Joseph Silverman, The Arithmetic of Elliptic Curves (1986), S. 51

Algebraische Formeln

Für $P = (x_1, y_1)$ und $Q = (x_2, y_2)$ mit $P \neq \pm Q$:

\[ \lambda = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}, \quad x_3 = \lambda^2 - x_1 - x_2, \quad y_3 = \lambda(x_1 - x_3) - y_1 \]

Für $P = Q$ (Verdopplung):

\[ \lambda = \frac{3x_1^2 + a}{2y_1} \]

Diese Formeln gelten über jedem Körper – auch über $\mathbb{F}_p$ oder $\mathbb{Q}_p$.

3. Rationale Punkte und der Satz von Mordell¶

Die Menge der rationalen Punkte $E(\mathbb{Q}) = \{(x, y) \in \mathbb{Q}^2 \mid y^2 = x^3 + ax + b\} \cup \{\mathcal{O}\}$ ist eine Untergruppe von $E$.

Satz (Mordell, 1922). $E(\mathbb{Q})$ ist eine endlich erzeugte abelsche Gruppe.

Nach dem Struktursatz für endlich erzeugte abelsche Gruppen:

\[ E(\mathbb{Q}) \cong \mathbb{Z}^r \oplus E(\mathbb{Q})_{\text{tors}} \]

wobei: - $r = \text{rang}(E)$ der Rang der Kurve ist (Anzahl unabhängiger Punkte unendlicher Ordnung) - $E(\mathbb{Q})_{\text{tors}}$ die endliche Torsionsuntergruppe ist (Punkte endlicher Ordnung)

Satz (Mazur, 1977). Die Torsionsuntergruppe $E(\mathbb{Q})_{\text{tors}}$ ist isomorph zu einer der folgenden Gruppen:

\[ \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \text{ für } n \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12\} $$ $$ \text{oder } \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/2n\mathbb{Z} \text{ für } n \in \{1, 2, 3, 4\} \]

Der Rang $r$ ist schwer zu berechnen. Ob elliptische Kurven mit beliebig großem Rang existieren, ist eine offene Frage.

4. Reduktion modulo $p$¶

Eine elliptische Kurve $E: y^2 = x^3 + ax + b$ mit $a, b \in \mathbb{Z}$ kann modulo einer Primzahl $p$ reduziert werden:

\[ \tilde{E}: \quad y^2 \equiv x^3 + ax + b \pmod{p} \]

Wenn $p \nmid \Delta$, ist $\tilde{E}$ eine glatte Kurve über $\mathbb{F}_p$ – $E$ hat gute Reduktion bei $p$. Andernfalls liegt schlechte Reduktion vor.

Die $a_p$-Koeffizienten¶

Für Primzahlen $p$ guter Reduktion:

\[ a_p = p + 1 - \#\tilde{E}(\mathbb{F}_p) \]

wobei $\#\tilde{E}(\mathbb{F}_p)$ die Anzahl der Punkte von $\tilde{E}$ über $\mathbb{F}_p$ ist (inklusive $\mathcal{O}$).

Satz (Hasse, 1933). Es gilt $|a_p| \leq 2\sqrt{p}$.

Die $a_p$-Koeffizienten kodieren das Verhalten der Kurve Primzahl für Primzahl. Sie bilden die Bausteine der $L$-Reihe.

Beispiel: Für $E: y^2 = x^3 - x$ und $p = 5$:

$x$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$x^3 - x \bmod 5$	$0$	$0$	$1$	$4$	$0$
$y^2 \equiv \ldots$?	$y = 0$	$y = 0$	$y = \pm 1$	$y = \pm 2$	$y = 0$

Das ergibt $8$ affine Punkte plus $\mathcal{O}$, also $\#\tilde{E}(\mathbb{F}_5) = 9$ und $a_5 = 5 + 1 - 9 = -3$.

5. Die $L$-Reihe einer elliptischen Kurve¶

Die $a_p$-Koeffizienten werden in einer analytischen Funktion gebündelt – der $L$-Reihe (Hasse-Weil):

\[ L(E, s) = \prod_{p \text{ gut}} \frac{1}{1 - a_p p^{-s} + p^{1-2s}} \cdot \prod_{p \text{ schlecht}} (\text{lokaler Faktor}) \]

Diese $L$-Reihe konvergiert für $\text{Re}(s) > 3/2$ und kodiert die gesamte arithmetische Information der Kurve.

Die BSD-Vermutung (Birch und Swinnerton-Dyer, eines der Millennium-Probleme): Der Rang von $E(\mathbb{Q})$ ist gleich der Ordnung der Nullstelle von $L(E, s)$ bei $s = 1$.

Die Verbindung zu Modulformen¶

Die zentrale Frage: Ist die $L$-Reihe $L(E, s)$ gleich der $L$-Reihe einer Modulform $f$?

\[ L(E, s) \stackrel{?}{=} L(f, s) = \sum_{n=1}^{\infty} a_n n^{-s} \]

Wenn ja, heißt $E$ modular. Die Taniyama-Shimura-Vermutung (jetzt Theorem) besagt: Jede elliptische Kurve über $\mathbb{Q}$ ist modular. Dieser Satz – genauer: der semistabile Fall, bewiesen von Wiles – impliziert Fermats letzten Satz.

6. Torsionspunkte und Galois-Darstellungen¶

Für eine Primzahl $\ell$ sind die $\ell$-Teilungspunkte die Punkte $P \in E(\overline{\mathbb{Q}})$ mit $\ell P = \mathcal{O}$:

\[ E[\ell] = \{P \in E(\overline{\mathbb{Q}}) \mid \ell P = \mathcal{O}\} \]

Es gilt $E[\ell] \cong (\mathbb{Z}/\ell\mathbb{Z})^2$ – ein zweidimensionaler Vektorraum über $\mathbb{F}_\ell$.

Die absolute Galois-Gruppe $G_{\mathbb{Q}}$ wirkt auf $E[\ell]$ durch Permutation der Koordinaten. Dies definiert eine Galois-Darstellung:

\[ \bar{\rho}_{E,\ell}: G_{\mathbb{Q}} \to \text{Aut}(E[\ell]) \cong \text{GL}_2(\mathbb{F}_\ell) \]

Für die $\ell$-adischen Tate-Moduln (den projektiven Limes über alle $\ell^n$-Teilungspunkte) ergibt sich eine $\ell$-adische Darstellung:

\[ \rho_{E,\ell}: G_{\mathbb{Q}} \to \text{GL}_2(\mathbb{Z}_\ell) \hookrightarrow \text{GL}_2(\mathbb{Q}_\ell) \]

Diese Darstellungen bilden das Bindeglied zwischen elliptischen Kurven und der Galois-Theorie – das zentrale Objekt in Wiles' Beweis.

7. Elliptische Kurven in der Kryptographie¶

Elliptische Kurven über endlichen Körpern $\mathbb{F}_p$ bilden die Grundlage moderner kryptographischer Verfahren (ECC – Elliptic Curve Cryptography).

Die Sicherheit beruht auf dem diskreten Logarithmusproblem: Gegeben $P$ und $Q = nP$ auf $E(\mathbb{F}_p)$, ist es rechnerisch extrem schwierig, $n$ zu bestimmen – obwohl die Berechnung von $nP$ aus $n$ und $P$ effizient möglich ist (durch wiederholtes Verdoppeln und Addieren).

ECC bietet dasselbe Sicherheitsniveau wie RSA, aber mit kürzeren Schlüsseln:

Sicherheitsniveau	RSA-Schlüssel	ECC-Schlüssel
128 Bit	3072 Bit	256 Bit
256 Bit	15360 Bit	512 Bit

8. Ausblick: Modularität¶

Dieser Artikel hat elliptische Kurven als eigenständige algebraische Objekte vorgestellt. Ihre Verbindung zu Modulformen ist Thema des nächsten Werkzeug-Artikels.

Die Kette der Verbindungen:

\[ \text{Elliptische Kurve } E \xrightarrow{a_p} \text{$L$-Reihe } L(E,s) \xleftarrow{?} L(f,s) \xleftarrow{a_n} \text{Modulform } f \]

Die Taniyama-Shimura-Vermutung behauptet, dass der mittlere Pfeil immer existiert – dass jede elliptische Kurve ein Gegenstück im Raum der Modulformen hat. Wiles' Beweis dieser Vermutung (für semistabile Kurven) ist der Schlüssel zu Fermats letztem Satz.

Quellen¶

Nigel Boston: The Proof of Fermat's Last Theorem (2003), Kapitel 6
Joseph Silverman: The Arithmetic of Elliptic Curves, Springer (1986)
Joseph Silverman, John Tate: Rational Points on Elliptic Curves, Springer (1992)
Andrew Wiles: Modular elliptic curves and Fermat's Last Theorem, Annals of Mathematics 141 (1995), §1

Kurve	\(a\)	\(b\)	\(\Delta\)
\(y^2 = x^3 - x\)	\(-1\)	\(0\)	\(64\)
\(y^2 = x^3 + 1\)	\(0\)	\(1\)	\(-432\)
\(y^2 = x^3 - x + 1\)	\(-1\)	\(1\)	\(-368\)

\(x\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)	\(4\)
\(x^3 - x \bmod 5\)	\(0\)	\(0\)	\(1\)	\(4\)	\(0\)
\(y^2 \equiv \ldots\)?	\(y = 0\)	\(y = 0\)	\(y = \pm 1\)	\(y = \pm 2\)	\(y = 0\)