Abbildungen (Funktionen)¶

Definition¶

Eine Abbildung (oder Funktion) \(f: A \to B\) ordnet jedem Element \(a \in A\) genau ein Element \(f(a) \in B\) zu.

Beispiel. \(f: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}\) mit \(f(x) = x^2\). Hier ist \(f(3) = 9\) und \(f(-3) = 9\).

Eine Abbildung \(f\) ist injektiv (eineindeutig), wenn verschiedene Eingaben verschiedene Ausgaben liefern:

\[ f(a_1) = f(a_2) \implies a_1 = a_2 \]

Beispiel. \(f(x) = 2x\) ist injektiv: Aus \(2a = 2b\) folgt \(a = b\).

Gegenbeispiel. \(f(x) = x^2\) auf \(\mathbb{Z}\) ist nicht injektiv: \(f(3) = f(-3) = 9\), aber \(3 \neq -3\).

Eine Abbildung \(f: A \to B\) ist surjektiv, wenn jedes Element in \(B\) mindestens ein Urbild hat:

\[ \forall b \in B\; \exists a \in A: f(a) = b \]

Äquivalent: \(f(A) = B\).

Beispiel. \(f: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}\) mit \(f(x) = x + 1\) ist surjektiv: Für jedes \(b \in \mathbb{Z}\) ist \(a = b - 1\) ein Urbild.

Gegenbeispiel. \(f: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}\) mit \(f(x) = x^2\) ist nicht surjektiv: \(-1\) hat kein Urbild, da \(x^2 \geq 0\) für alle \(x\).

Eine Abbildung ist bijektiv, wenn sie sowohl injektiv als auch surjektiv ist. Jedes Element in \(B\) hat dann genau ein Urbild.

Bijektive Abbildungen besitzen eine Umkehrabbildung \(f^{-1}: B \to A\) mit \(f^{-1}(f(a)) = a\) und \(f(f^{-1}(b)) = b\).

Beispiel. \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) mit \(f(x) = 2x + 1\) ist bijektiv. Die Umkehrfunktion ist \(f^{-1}(y) = \frac{y - 1}{2}\).

Die Komposition zweier Abbildungen \(f: A \to B\) und \(g: B \to C\) ist die Abbildung \(g \circ f: A \to C\) mit:

\[ (g \circ f)(a) = g(f(a)) \]

Beispiel. \(f(x) = x + 1\) und \(g(x) = x^2\). Dann \((g \circ f)(3) = g(f(3)) = g(4) = 16\).

Die Reihenfolge ist relevant: \((f \circ g)(3) = f(g(3)) = f(9) = 10 \neq 16\).

Eigenschaft	Bedeutung
Injektiv	Verschiedene Eingaben → verschiedene Ausgaben
Surjektiv	Jedes \(b \in B\) hat ein Urbild
Bijektiv	Injektiv und surjektiv; Umkehrabbildung existiert
\(g \circ f\)	Komposition: erst \(f\), dann \(g\)