Elementares Vorwissen
Dieses Nachschlagewerk enthält grundlegende mathematische Konzepte, die in den Hauptartikeln vorausgesetzt werden. Die Einträge sind knapp gehalten und dienen als schnelle Referenz – kein Ersatz für ein Lehrbuch, sondern ein Werkzeug zum gezielten Nachschlagen.
A. Logik und Beweistechniken
| Thema |
Inhalt |
| Aussagenlogik |
Aussagen, Wahrheitswerte, Konjunktion, Disjunktion, Negation |
| Implikation und Äquivalenz |
„A ⟹ B" ≡ „¬A ∨ B", Kontraposition, Bikonditional |
| Beweisarten |
Direkter Beweis, Widerspruchsbeweis, Induktion, Gegenbeispiel |
| Was ist ein Beweis? |
Axiome, Definitionen, Sätze, Lemmata, Vermutung vs. Satz |
B. Arithmetik und Zahlen
| Thema |
Inhalt |
| Bruchrechnung |
Addition, Multiplikation, Kürzen, Erweitern, Hauptnenner |
| Gleichungen und äquivalente Umformungen |
Gleichheitszeichen, erlaubte Operationen, Äquivalenzumformungen |
| Ungleichungen |
Ordnung auf ℝ, Rechenregeln, Betrag, Dreiecksungleichung |
| Teilbarkeit und ggT |
Division mit Rest, größter gemeinsamer Teiler, Euklidischer Algorithmus |
| Modulare Arithmetik |
Kongruenz, Rechnen modulo n, Restklassen |
C. Mengen und Strukturen
| Thema |
Inhalt |
| Mengen und Mengenoperationen |
Notation (∈, ⊂, ∪, ∩, ∅), Teilmengen, Potenzmengen |
| Abbildungen (Funktionen) |
Definitions-/Wertebereich, injektiv, surjektiv, bijektiv |
| Zahlenbereiche |
ℕ, ℤ, ℚ, ℝ, ℂ – Erweiterungskette |
D. Geometrie
E. Algebra
F. Geometrie und Analysis (Aufbau)
Vertiefende Konzepte für die Differentialgeometrie der
Poincaré-Vermutung – Mannigfaltigkeiten, Krümmung,
Vektoranalysis und parabolische Differentialgleichungen.
| Thema |
Inhalt |
| Mannigfaltigkeit anschaulich |
Karten, Atlas, glatte Strukturen, Beispiele \(S^n\), \(T^n\), \(\mathbb{RP}^n\) |
| Tangentialraum und Tensoren |
\(T_p M\), Vektorfelder, Tensorfelder, Riemannsche Metrik |
| Krümmung von Flächen (Gauß) |
Hauptkrümmungen, Theorema Egregium, Gauß–Bonnet |
| Vektoranalysis kompakt |
Gradient, Divergenz, Laplace-Beltrami, Integralsätze |
| Wärmeleitungsgleichung – Intuition |
\(\partial_t u = \Delta u\), Glättung, Maximum-Prinzip, Wärmekern |