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Tangentialraum und Tensoren

„Der Tangentialraum ist die richtige Ableitung einer Mannigfaltigkeit an einem Punkt – und alles, was Geometrie misst, lebt auf ihm."

Auf einer glatten Mannigfaltigkeit (siehe Mannigfaltigkeit anschaulich) lassen sich Funktionen ableiten. Dazu braucht man eine Vorstellung von Geschwindigkeit in einem Punkt. Diese Vorstellung formalisiert der Tangentialraum. Auf seinen Tensorprodukten leben dann Begriffe wie Längenmessung (Riemannsche Metrik), Krümmung und Volumen.

1. Tangentialvektoren

Sei \(M\) eine glatte Mannigfaltigkeit, \(p \in M\). Eine glatte Kurve durch \(p\) ist eine glatte Abbildung \(\gamma : (-\varepsilon, \varepsilon) \to M\) mit \(\gamma(0) = p\). Zwei Kurven \(\gamma_1, \gamma_2\) heißen äquivalent, wenn in jeder (und damit jeder) Karte $$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\Big|{t=0}(\varphi \circ \gamma_1) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\Big|(\varphi \circ \gamma_2). $$ Eine Äquivalenzklasse heißt Tangentialvektor an \(p\). Die Menge aller Tangentialvektoren ist der Tangentialraum \(T_p M\).

\(T_p M\) ist ein reeller Vektorraum der Dimension \(n = \dim M\). In einer Karte \((x^1, \dots, x^n)\) um \(p\) liefert die Basis $$ \Big{ \partial_1 \big|_p, \dots, \partial_n \big|_p \Big}, \qquad \partial_i \big|_p f := \frac{\partial(f \circ \varphi^{-1})}{\partial x^i}(\varphi(p)). $$

Bild: \(T_p M\) ist die Tangentialebene/-gerade an \(M\) in \(p\), von der Mannigfaltigkeit abgelöst und zu einem eigenen Vektorraum gemacht.

2. Vektorfelder und Kotangentialraum

Ein Vektorfeld \(X\) ordnet jedem Punkt \(p\) einen Vektor \(X_p \in T_p M\) zu (glatt). In Koordinaten: \(X = X^i(x)\, \partial_i\) (Einsteinsche Summenkonvention).

Der Kotangentialraum \(T_p^* M\) ist der Dualraum von \(T_p M\). Eine 1-Form ordnet jedem Punkt eine Linearform auf \(T_p M\) zu. Basis dual zu \(\partial_i\): die Differentiale \(\mathrm{d}x^i\). Dann ist eine 1-Form \(\omega = \omega_i(x)\, \mathrm{d}x^i\), und es gilt \(\mathrm{d}x^i(\partial_j) = \delta^i_j\).

3. Tensoren und Tensorfelder

Ein \((r,s)\)-Tensor an \(p\) ist eine multilineare Abbildung $$ T : \underbrace{T_p^ M \times \dots \times T_p^ M}{r} \times \underbrace{T_p M \times \dots \times T_p M} \to \mathbb{R}. $$ Ein Tensorfeld ordnet jedem Punkt einen solchen Tensor zu. In Koordinaten: $$ T = T^{i_1 \dots i_r}{}{j_1 \dots j_s}\, \partial \otimes \mathrm{d}x^{j_1} \otimes \dots \otimes \mathrm{d}x^{j_s}. $$} \otimes \dots \otimes \partial_{i_r

Tensor Typ Beispiele
Funktion \((0,0)\) Skalarfeld
Vektorfeld \((1,0)\) \(\partial_i\)
1-Form \((0,1)\) \(\mathrm{d}f\), \(\mathrm{d}x^i\)
Riemannsche Metrik \((0,2)\), symmetrisch \(g_{ij}\)
Krümmungstensor \((1,3)\) \(R^l{}_{ijk}\)
Ricci-Tensor \((0,2)\), symmetrisch \(R_{ij}\)

4. Die Riemannsche Metrik

Eine Riemannsche Metrik \(g\) ist ein symmetrisches, positiv definites \((0,2)\)-Tensorfeld. In jedem Punkt liefert \(g_p\) ein Skalarprodukt auf \(T_p M\), in Koordinaten \(g_{ij}(x)\) mit \(g_{ij} = g_{ji}\) und \(g_{ij}\xi^i \xi^j > 0\) für \(\xi \neq 0\).

Damit definiert man:

  • Länge eines Vektors: \(|v|_g = \sqrt{g_{ij} v^i v^j}\).
  • Länge einer Kurve: \(L(\gamma) = \int_a^b |\dot\gamma(t)|_g\, \mathrm{d}t\).
  • Volumenform: \(\mathrm{d}V_g = \sqrt{\det g_{ij}}\, \mathrm{d}x^1 \wedge \dots \wedge \mathrm{d}x^n\).
  • Inverse Metrik: \(g^{ij}\), definiert durch \(g^{ij}g_{jk} = \delta^i_k\).

Beispiel: Auf \(\mathbb{R}^n\) ist die euklidische Metrik \(g_{ij} = \delta_{ij}\). Auf der Sphäre \(S^2 \subset \mathbb{R}^3\) ergibt sich aus der Einbettung in Polarkoordinaten \(g = \mathrm{d}\theta^2 + \sin^2\theta\,\mathrm{d}\phi^2\).

5. Index hoch- und runterziehen

Mit \(g_{ij}\) und \(g^{ij}\) kann man Indizes umwandeln. Aus einem Vektorfeld \(X^i\) wird die 1-Form \(X_i := g_{ij} X^j\). Aus dem Krümmungstensor \(R^l{}_{ijk}\) wird der vierstellige Riemann-Tensor \(R_{lijk} := g_{lm} R^m{}_{ijk}\). Wer sich an diese Mechanik gewöhnt, liest fast jede Formel der Differentialgeometrie als Bilanz oben/unten stehender Indizes.

6. Was kommt als Nächstes?

Sobald eine Metrik gewählt ist, gibt es einen eindeutigen Zusammenhang ohne Torsion mit metrischer Verträglichkeit – den Levi-Civita-Zusammenhang – und damit kovariante Ableitungen, Geodätische und den Riemannschen Krümmungstensor. Daraus entstehen Ricci- und Skalar-Krümmung, die im Ricci-Fluss \(\partial_t g_{ij} = -2 R_{ij}\) die zentrale Rolle spielen.

Querverweise

Quellen

  • Lee, John M. (2018). Introduction to Riemannian Manifolds. Springer GTM 176, 2. Auflage. Kap. 1–3.
  • do Carmo, Manfredo P. (1992). Riemannian Geometry. Birkhäuser.
  • Petersen, Peter (2016). Riemannian Geometry. Springer GTM 171, 3. Auflage.