Bruchrechnung

Brüche als Zahlen

Ein Bruch \(\frac{a}{b}\) mit \(a \in \mathbb{Z}\) und \(b \in \mathbb{Z} \setminus \{0\}\) repräsentiert das Ergebnis der Division \(a \div b\). Dabei heißt \(a\) der Zähler und \(b\) der Nenner.

Zwei Brüche \(\frac{a}{b}\) und \(\frac{c}{d}\) sind gleich, wenn \(a \cdot d = b \cdot c\).

Beispiel. \(\frac{2}{3} = \frac{4}{6}\), denn \(2 \cdot 6 = 3 \cdot 4 = 12\).

Kürzen und Erweitern

Kürzen

Ein Bruch wird gekürzt, indem Zähler und Nenner durch denselben Faktor \(k \neq 0\) geteilt werden:

\[ \frac{a}{b} = \frac{a / k}{b / k} \]

Vollständig gekürzt ist ein Bruch, wenn \(\gcd(a, b) = 1\).

Beispiel. \(\frac{12}{18} = \frac{12/6}{18/6} = \frac{2}{3}\).

Erweitern

Ein Bruch wird erweitert, indem Zähler und Nenner mit demselben Faktor \(k \neq 0\) multipliziert werden:

\[ \frac{a}{b} = \frac{a \cdot k}{b \cdot k} \]

Beispiel. \(\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5} = \frac{10}{15}\).

Addition und Subtraktion

Brüche mit gleichem Nenner werden direkt addiert:

\[ \frac{a}{n} + \frac{b}{n} = \frac{a + b}{n} \]

Bei verschiedenen Nennern wird zunächst der Hauptnenner (kleinstes gemeinsames Vielfaches, kgV) gebildet:

\[ \frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d + c \cdot b}{b \cdot d} \]

Beispiel. \(\frac{2}{3} + \frac{1}{4} = \frac{2 \cdot 4 + 1 \cdot 3}{3 \cdot 4} = \frac{8 + 3}{12} = \frac{11}{12}\).

Die Subtraktion funktioniert analog: \(\frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d - c \cdot b}{b \cdot d}\).

Multiplikation

Brüche werden multipliziert, indem Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner multipliziert werden:

\[ \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d} \]

Beispiel. \(\frac{2}{3} \cdot \frac{5}{7} = \frac{10}{21}\).

Division

Die Division durch einen Bruch entspricht der Multiplikation mit dem Kehrwert:

\[ \frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c} \]

Voraussetzung: \(c \neq 0\).

Beispiel. \(\frac{3}{4} \div \frac{2}{5} = \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{2} = \frac{15}{8}\).

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Zusammenfassung

Operation	Formel
Kürzen	\(\frac{a}{b} = \frac{a/k}{b/k}\)
Erweitern	\(\frac{a}{b} = \frac{ak}{bk}\)
Addition	\(\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + cb}{bd}\)
Multiplikation	\(\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}\)
Division	\(\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{ad}{bc}\)

Quellen

• Courant, Richard; Robbins, Herbert: What Is Mathematics? Oxford University Press, 2. Auflage, 1996. Kapitel 1.