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Riemannsche Metrik

Zusammenfassung

Eine Riemannsche Metrik ist die Zusatzstruktur, die einer glatten Mannigfaltigkeit Längen, Winkel und Volumina verleiht. Sie ist das fundamentale Objekt, das Hamiltons Ricci-Fluss zeitlich verformt – ohne Metrik gibt es keine Krümmung, ohne Krümmung keinen Ricci-Fluss.

1. Von der Topologie zur Geometrie

In Akt 1 (Artikel 02) wurden Mannigfaltigkeiten als Räume eingeführt, die lokal wie \(\mathbb{R}^n\) aussehen. Eine glatte Mannigfaltigkeit kennt aber nur ihre topologische und differenzierbare Struktur: Welche Funktionen sind glatt, welche Vektorfelder existieren? Sie weiß nicht, wie lang ein Vektor ist oder welcher Winkel zwischen zweien liegt.

Genau diese Information liefert eine Riemannsche Metrik. Sie macht aus einer glatten Mannigfaltigkeit eine Riemannsche Mannigfaltigkeit \((M, g)\) und ist die kleinste Zusatzstruktur, mit der man Geometrie im klassischen Sinn betreiben kann.

2. Definition

Sei \(M\) eine glatte \(n\)-Mannigfaltigkeit. Eine Riemannsche Metrik \(g\) ordnet jedem Punkt \(p \in M\) ein Skalarprodukt \(g_p \colon T_pM \times T_pM \to \mathbb{R}\) auf dem Tangentialraum zu, das

  • bilinear in beiden Argumenten,
  • symmetrisch (\(g_p(v,w) = g_p(w,v)\)),
  • positiv definit (\(g_p(v,v) \ge 0\) mit Gleichheit nur für \(v = 0\))

ist und glatt vom Punkt \(p\) abhängt. In lokalen Koordinaten \((x^1, \dots, x^n)\) schreibt man

\[g = g_{ij}(x)\, dx^i \otimes dx^j,\]

wobei die Matrix \(\bigl(g_{ij}(p)\bigr)\) symmetrisch und positiv definit ist. Die Einsteinsche Summenkonvention wird im Folgenden stillschweigend verwendet.

„A Riemannian metric on a smooth manifold \(M\) is a smooth, symmetric, positive-definite 2-tensor field on \(M\)." — John M. Lee, Introduction to Riemannian Manifolds (2018), S. 11

3. Was die Metrik leistet

Sobald \(g\) vorliegt, sind alle klassischen geometrischen Größen definiert.

Länge eines Vektors. Für \(v \in T_pM\) ist \(\lvert v\rvert_g = \sqrt{g_p(v,v)}\).

Winkel. Zwischen \(v, w \in T_pM \setminus\{0\}\):

\[\cos\theta = \frac{g_p(v,w)}{\lvert v\rvert_g\,\lvert w\rvert_g}.\]

Bogenlänge einer Kurve \(\gamma\colon [a,b]\to M\):

\[L(\gamma) = \int_a^b \sqrt{g_{\gamma(t)}\bigl(\dot\gamma(t),\dot\gamma(t)\bigr)}\,dt.\]

Riemannscher Abstand. \(d_g(p,q) = \inf_\gamma L(\gamma)\), wobei das Infimum über alle stückweise glatten Kurven von \(p\) nach \(q\) läuft. \((M, d_g)\) wird damit zu einem metrischen Raum, dessen Topologie mit der ursprünglichen Mannigfaltigkeitstopologie übereinstimmt.

Volumenform. In orientierbaren Karten:

\[d\mathrm{vol}_g = \sqrt{\det(g_{ij})}\,dx^1 \wedge \cdots \wedge dx^n.\]

Damit lassen sich Volumina von Teilmengen, Integrale glatter Funktionen und – über die Hesse-Form von \(g\) – auch Krümmungsgrößen definieren (siehe Artikel 02).

4. Beispiele

Euklidischer Raum. Auf \(\mathbb{R}^n\) ist \(g_{\mathrm{eukl}} = \delta_{ij}\,dx^i\,dx^j\) die flache Standardmetrik – Längen, Winkel und Volumen sind die gewohnten.

Sphäre \(S^n\). Eingebettet in \(\mathbb{R}^{n+1}\) erbt \(S^n\) die Rundmetrik \(g_{\mathrm{round}}\) als Restriktion des euklidischen Skalarprodukts auf den Tangentialraum. Großkreise sind Geodäten, der Schnittkrümmungs-Wert ist konstant gleich \(1\) (für die Einheits-Sphäre).

Hyperbolischer Raum \(\mathbb{H}^n\). Auf der oberen Halbebene \(\{(x^1,\dots,x^n) : x^n > 0\}\) definiert \(g_{\mathrm{hyp}} = (x^n)^{-2}\,\delta_{ij}\,dx^i\,dx^j\) eine Metrik mit konstanter Schnittkrümmung \(-1\).

Produktmetriken. Auf \(M \times N\) kombiniert \(g_M \oplus g_N\) die Faktoren – etwa die Standardmetrik auf \(T^2 = S^1 \times S^1\) oder \(S^2 \times \mathbb{R}\).

Gequetschte Sphäre. Die runde \(S^2\) lässt sich durch Skalierung in eine Richtung zu einem Ellipsoid verformen. Topologisch bleibt es eine 2-Sphäre, geometrisch ändern sich Krümmung, Geodäten und Volumen.

5. Existenz und Vielfalt

Eine grundlegende Beobachtung: Auf jeder parakompakten glatten Mannigfaltigkeit existiert mindestens eine Riemannsche Metrik. Der Beweis verwendet eine Zerlegung der Eins, kombiniert lokale Koordinatenmetriken in den Karten und überträgt die positive Definitheit auf das globale Objekt (siehe Lee 2018, Prop. 2.4).

Wichtiger noch: Auf einer fixierten glatten Mannigfaltigkeit existiert ein unendlich-dimensionaler Raum Riemannscher Metriken. Dieser Raum \(\mathcal{M}(M)\) ist der eigentliche Spielplatz des Ricci-Flusses: Eine Anfangsmetrik \(g_0\) wird unter dem Fluss zu einer Familie \(g(t)\) – eine Trajektorie in \(\mathcal{M}(M)\) (siehe Artikel 03).

6. Levi-Civita-Zusammenhang

Eine Riemannsche Metrik liefert kanonisch einen Zusammenhang \(\nabla\) auf dem Tangentialbündel – den Levi-Civita-Zusammenhang. Charakterisiert ist er durch zwei Eigenschaften:

  • Torsionsfreiheit: \(\nabla_X Y - \nabla_Y X = [X,Y]\).
  • Metrik-Verträglichkeit: \(X(g(Y,Z)) = g(\nabla_X Y, Z) + g(Y, \nabla_X Z)\).

Der Fundamentalsatz der Riemannschen Geometrie besagt, dass \(\nabla\) durch diese beiden Bedingungen eindeutig bestimmt ist. Die zugehörigen Christoffel-Symbole

\[\Gamma^k_{ij} = \tfrac{1}{2}\,g^{kl}\bigl(\partial_i g_{jl} + \partial_j g_{il} - \partial_l g_{ij}\bigr)\]

sind die rechentechnische Grundlage für Krümmung und Geodäten.

7. Geodäten

Eine Geodäte ist eine Kurve \(\gamma\) mit \(\nabla_{\dot\gamma}\dot\gamma = 0\) – sie verläuft „so gerade wie möglich". Geodäten verallgemeinern Geraden des \(\mathbb{R}^n\) und Großkreise auf \(S^n\). In Koordinaten:

\[\ddot\gamma^k + \Gamma^k_{ij}\,\dot\gamma^i\,\dot\gamma^j = 0.\]

Lokal sind Geodäten die kürzesten Verbindungen; global stimmt das nur unter Zusatzannahmen (etwa Vollständigkeit). Der Hopf-Rinow-Satz verbindet metrische und geodätische Vollständigkeit.

8. Warum die Metrik in Akt 2 zentral ist

Hamiltons Ricci-Fluss ist die Evolutionsgleichung

\[\frac{\partial g(t)}{\partial t} = -2\,\mathrm{Ric}(g(t)).\]

Sie ist eine partielle Differentialgleichung für die Metrik selbst. Sämtliche geometrischen Größen, mit denen die nachfolgenden Artikel arbeiten – Krümmungstensoren, Volumen, Diameter, Entropie-Funktionale – sind Funktionen von \(g\). Wer den Fluss verstehen will, muss zuerst verstehen, was eine Metrik ist und wie sie sich ändert, wenn man an ihr „dreht".

Quellen

  • John M. Lee, Introduction to Riemannian Manifolds, 2nd ed., Springer (2018), Kap. 2.
  • Manfredo do Carmo, Riemannian Geometry, Birkhäuser (1992), Kap. 1–3.
  • Peter Petersen, Riemannian Geometry, 3rd ed., Springer (2016), Kap. 2.

Querverweise