Aussagenlogik¶
Aussagen und Wahrheitswerte¶
Eine Aussage ist ein Satz, dem genau einer der Wahrheitswerte wahr (w) oder falsch (f) zugeordnet werden kann.
Beispiele für Aussagen:
- „7 ist eine Primzahl." → wahr
- „4 ist ungerade." → falsch
- „\(2 + 3 = 5\)." → wahr
Keine Aussagen sind Fragen („Ist 7 eine Primzahl?"), Aufforderungen („Berechne den ggT!") oder unbestimmte Ausdrücke („\(x > 3\)" – hängt von \(x\) ab).
Negation (¬)¶
Die Negation einer Aussage \(A\) kehrt den Wahrheitswert um. Notation: \(\neg A\).
| \(A\) | \(\neg A\) |
|---|---|
| w | f |
| f | w |
Beispiel. \(A\): „5 ist gerade." (falsch) → \(\neg A\): „5 ist nicht gerade." (wahr)
Konjunktion (∧)¶
Die Konjunktion \(A \land B\) („\(A\) und \(B\)") ist genau dann wahr, wenn beide Aussagen wahr sind.
| \(A\) | \(B\) | \(A \land B\) |
|---|---|---|
| w | w | w |
| w | f | f |
| f | w | f |
| f | f | f |
Beispiel. „7 ist eine Primzahl und 7 ist ungerade." → wahr ∧ wahr = wahr.
Disjunktion (∨)¶
Die Disjunktion \(A \lor B\) („\(A\) oder \(B\)") ist wahr, wenn mindestens eine der Aussagen wahr ist.
| \(A\) | \(B\) | \(A \lor B\) |
|---|---|---|
| w | w | w |
| w | f | w |
| f | w | w |
| f | f | f |
Das mathematische „oder" ist inklusiv: Auch wenn beide wahr sind, ist die Disjunktion wahr.
Beispiel. „4 ist gerade oder 4 ist eine Primzahl." → wahr ∨ falsch = wahr.
De Morgansche Gesetze¶
Zwei fundamentale Umformungsregeln:
In Worten: Die Negation eines „und" wird zu einem „oder" der Negationen – und umgekehrt.
Zusammenfassung¶
| Verknüpfung | Symbol | Wahr wenn… |
|---|---|---|
| Negation | \(\neg A\) | \(A\) falsch ist |
| Konjunktion | \(A \land B\) | beide wahr |
| Disjunktion | \(A \lor B\) | mindestens eine wahr |
Quellen¶
- Ebbinghaus, H.-D.; Flum, J.; Thomas, W.: Einführung in die mathematische Logik. Springer, 6. Auflage, 2018. Kapitel 1.