Ungleichungen¶
Ordnung auf ℝ¶
Die reellen Zahlen \(\mathbb{R}\) tragen eine totale Ordnung: Für je zwei Zahlen \(a, b \in \mathbb{R}\) gilt genau eine der Aussagen \(a < b\), \(a = b\) oder \(a > b\).
Die Symbole im Überblick:
| Symbol | Bedeutung |
|---|---|
| \(a < b\) | \(a\) ist echt kleiner als \(b\) |
| \(a \leq b\) | \(a\) ist kleiner oder gleich \(b\) |
| \(a > b\) | \(a\) ist echt größer als \(b\) |
| \(a \geq b\) | \(a\) ist größer oder gleich \(b\) |
Rechenregeln¶
Addition und Subtraktion¶
Die Ordnung bleibt erhalten:
\[
a < b \implies a + c < b + c \quad \text{für alle } c \in \mathbb{R}
\]
Multiplikation mit positiver Zahl¶
Die Ordnung bleibt erhalten:
\[
a < b \text{ und } c > 0 \implies a \cdot c < b \cdot c
\]
Multiplikation mit negativer Zahl¶
Die Ordnung kehrt sich um:
\[
a < b \text{ und } c < 0 \implies a \cdot c > b \cdot c
\]
Beispiel. \(2 < 5\). Multiplikation mit \(-3\): \(-6 > -15\). Das Ungleichheitszeichen dreht sich.
Kehrwert¶
Für \(a, b > 0\):
\[
a < b \implies \frac{1}{a} > \frac{1}{b}
\]
Beispiel. \(2 < 5 \implies \frac{1}{2} > \frac{1}{5}\).
Beispiel: Lösung einer Ungleichung¶
\(-3x + 6 \leq 12\)
| Schritt | Ungleichung | Operation |
|---|---|---|
| 1 | \(-3x + 6 \leq 12\) | Ausgangsungleichung |
| 2 | \(-3x \leq 6\) | \(-6\) auf beiden Seiten |
| 3 | \(x \geq -2\) | \(\div (-3)\), Zeichen dreht sich |
Lösungsmenge: \([-2, \infty)\).
Betrag¶
Der Betrag (Absolutwert) einer reellen Zahl \(a\) ist definiert als:
\[
|a| = \begin{cases} a & \text{falls } a \geq 0 \\ -a & \text{falls } a < 0 \end{cases}
\]
Geometrisch: \(|a|\) ist der Abstand von \(a\) zum Nullpunkt auf der Zahlengeraden.
Dreiecksungleichung¶
Für alle \(a, b \in \mathbb{R}\):
\[
|a + b| \leq |a| + |b|
\]
Beispiel. \(|3 + (-5)| = |-2| = 2 \leq |3| + |-5| = 3 + 5 = 8\). ✓
Betragsungleichungen¶
\[
|x| < c \iff -c < x < c \quad (c > 0)
\]
\[
|x| > c \iff x < -c \text{ oder } x > c \quad (c > 0)
\]
Zusammenfassung¶
| Regel | Bedingung |
|---|---|
| \(a < b \implies a + c < b + c\) | Immer |
| \(a < b \implies ac < bc\) | \(c > 0\) |
| \(a < b \implies ac > bc\) | \(c < 0\) (Zeichen dreht sich) |
| \(\|a + b\| \leq \|a\| + \|b\|\) | Dreiecksungleichung |
Quellen¶
- Courant, Richard; Robbins, Herbert: What Is Mathematics? Oxford University Press, 2. Auflage, 1996.