Mengen und Mengenoperationen¶

Was ist eine Menge?¶

Eine Menge ist eine Zusammenfassung wohlunterschiedener Objekte (Elemente) zu einem Ganzen. Notation: Geschweifte Klammern.

\[ A = \{1, 2, 3\} \]

Das Symbol \(\in\) bedeutet „ist Element von": \(2 \in A\). Das Symbol \(\notin\) bedeutet „ist kein Element von": \(5 \notin A\).

Mengen können durch eine Eigenschaft definiert werden:

\[ B = \{x \in \mathbb{Z} : x > 0 \text{ und } x < 10\} = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} \]

Symbol	Menge
\(\emptyset\) oder \(\{\}\)	Leere Menge (enthält kein Element)
\(\mathbb{N}\)	Natürliche Zahlen \(\{0, 1, 2, 3, \ldots\}\)
\(\mathbb{Z}\)	Ganze Zahlen \(\{\ldots, -2, -1, 0, 1, 2, \ldots\}\)
\(\mathbb{Q}\)	Rationale Zahlen
\(\mathbb{R}\)	Reelle Zahlen
\(\mathbb{C}\)	Komplexe Zahlen

\(A\) ist Teilmenge von \(B\) (\(A \subseteq B\)), wenn jedes Element von \(A\) auch in \(B\) liegt:

\[ A \subseteq B \iff \forall x: x \in A \Rightarrow x \in B \]

Beispiel. \(\{1, 3\} \subseteq \{1, 2, 3, 4\}\).

\(A \subset B\) (echte Teilmenge) bedeutet \(A \subseteq B\) und \(A \neq B\).

\[ A \cup B = \{x : x \in A \text{ oder } x \in B\} \]

Beispiel. \(\{1, 2\} \cup \{2, 3\} = \{1, 2, 3\}\).

\[ A \cap B = \{x : x \in A \text{ und } x \in B\} \]

Beispiel. \(\{1, 2, 3\} \cap \{2, 3, 4\} = \{2, 3\}\).

\[ A \setminus B = \{x : x \in A \text{ und } x \notin B\} \]

Beispiel. \(\{1, 2, 3\} \setminus \{2, 4\} = \{1, 3\}\).

Das Komplement \(\overline{A}\) (oder \(A^c\)) enthält alle Elemente, die nicht in \(A\) liegen (bezogen auf eine Grundmenge \(U\)):

\[ \overline{A} = U \setminus A \]

Die Potenzmenge \(\mathcal{P}(A)\) ist die Menge aller Teilmengen von \(A\):

\[ \mathcal{P}(\{1, 2\}) = \{\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{1, 2\}\} \]

Für eine Menge mit \(n\) Elementen hat die Potenzmenge \(2^n\) Elemente.

Das kartesische Produkt \(A \times B\) ist die Menge aller geordneten Paare:

\[ A \times B = \{(a, b) : a \in A, b \in B\} \]

Beispiel. \(\{1, 2\} \times \{a, b\} = \{(1, a), (1, b), (2, a), (2, b)\}\).