Summen- und Produktnotation¶

Das Summenzeichen Σ¶

Das Summenzeichen $\Sigma$ (griechisch: Sigma) fasst die Addition mehrerer Terme in kompakter Form zusammen:

\[ \sum_{k=1}^{n} a_k = a_1 + a_2 + \cdots + a_n \]

Dabei heißt $k$ der Laufindex, $1$ die untere Grenze und $n$ die obere Grenze. Der Ausdruck $a_k$ ist der Summand.

Beispiel. $$ \sum_{k=1}^{4} k^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 = 1 + 4 + 9 + 16 = 30 $$

Linearität: $$ \sum_{k=1}^{n} (c \cdot a_k + b_k) = c \cdot \sum_{k=1}^{n} a_k + \sum_{k=1}^{n} b_k $$
Konstante Summanden: $$ \sum_{k=1}^{n} c = n \cdot c $$
Indexverschiebung: Bei Substitution $j = k - 1$ wird aus $\sum_{k=1}^{n} a_k$ die Summe $\sum_{j=0}^{n-1} a_{j+1}$. Der Wert ändert sich nicht.

Das Produktzeichen $\Pi$ (griechisch: Pi) fasst die Multiplikation mehrerer Faktoren zusammen:

\[ \prod_{k=1}^{n} a_k = a_1 \cdot a_2 \cdots a_n \]

Beispiel. Die Fakultät lässt sich als Produkt schreiben: $$ n! = \prod_{k=1}^{n} k = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots n $$

Potenzierung: $$ \prod_{k=1}^{n} c = c^n $$
Produkt von Potenzen: $$ \prod_{k=1}^{n} a_k^{m} = \left(\prod_{k=1}^{n} a_k\right)^{m} $$

Der Laufindex muss nicht bei $1$ beginnen oder ganzzahlig fortschreiten. Die allgemeine Form lautet:

\[ \sum_{k \in I} a_k \]

Dabei ist $I$ eine endliche Indexmenge.

Beispiel. Summe über alle Primzahlen bis $10$: $$ \sum_{p \in {2,3,5,7}} \frac{1}{p} = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \frac{1}{7} $$

Bei zwei Laufindizes entsteht eine Doppelsumme:

\[ \sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{n} a_{ij} \]

Die Reihenfolge der Summation ist bei endlichen Summen vertauschbar:

\[ \sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{n} a_{ij} = \sum_{j=1}^{n} \sum_{i=1}^{m} a_{ij} \]

Beispiel. $$ \sum_{i=1}^{2} \sum_{j=1}^{3} ij = \sum_{i=1}^{2} (i \cdot 1 + i \cdot 2 + i \cdot 3) = \sum_{i=1}^{2} 6i = 6 + 12 = 18 $$

Die folgenden Formeln treten in der Zahlentheorie häufig auf:

Arithmetische Summe (Gauß): $$ \sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2} $$

Geometrische Summe (für $q \neq 1$): $$ \sum_{k=0}^{n} q^k = \frac{q^{n+1} - 1}{q - 1} $$

Geometrische Reihe (für $|q| < 1$): $$ \sum_{k=0}^{\infty} q^k = \frac{1}{1-q} $$

„The notation $\sum$ for summation was introduced by Euler in 1755." — Florian Cajori, A History of Mathematical Notations, Dover, 1993.

Ein zentrales Beispiel aus der Zahlentheorie verbindet Summen- und Produktnotation. Euler zeigte:

\[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s} = \prod_{p \text{ prim}} \frac{1}{1 - p^{-s}} \quad (s > 1) \]

Die linke Seite ist eine unendliche Reihe (die Riemannsche Zetafunktion), die rechte Seite ein unendliches Produkt über alle Primzahlen.

Cajori, Florian: A History of Mathematical Notations. Dover, 1993. Band 2, §§ 438–439.
Graham, Ronald L.; Knuth, Donald E.; Patashnik, Oren: Concrete Mathematics. Addison-Wesley, 2. Auflage, 1994. Kapitel 2.