\(p\)-adische Zahlen¶
Zusammenfassung
Neben den reellen Zahlen \(\mathbb{R}\) gibt es für jede Primzahl \(p\) die \(p\)-adischen Zahlen \(\mathbb{Q}_p\) – eine alternative Vervollständigung von \(\mathbb{Q}\), in der „nah bei Null" gleichbedeutend mit „durch hohe \(p\)-Potenzen teilbar" ist.
Voraussetzungen¶
| Thema | Beschreibung |
|---|---|
| Teilbarkeit und ggT | Teilerfremdheit, \(\gcd\), Euklidischer Algorithmus |
| Modulare Arithmetik | Kongruenzen \(a \equiv b \pmod{n}\) und Restklassen |
| Grenzwerte und Konvergenz | \(\lim_{n \to \infty} a_n = L\), Cauchy-Folgen, Reihen |
| Summen- und Produktnotation | \(\sum\)- und \(\prod\)-Notation |
| Potenzen und Polynome | Potenzschreibweise \(a^n\) und Polynomrechnung |
1. Eine andere Metrik¶
Die übliche Abstandsmessung auf \(\mathbb{Q}\) nutzt den gewöhnlichen Betrag \(|x|\): Die Zahl \(1/1000\) ist nah bei \(0\), weil \(|1/1000|\) klein ist.
Es gibt jedoch eine andere Definition von „Nähe", die auf Teilbarkeit basiert statt auf Größe.
Definition. Sei \(p\) eine Primzahl. Die \(p\)-adische Bewertung \(v_p(n)\) einer ganzen Zahl \(n \neq 0\) ist die höchste Potenz von \(p\), die \(n\) teilt:
Beispiele für \(p = 3\): \(v_3(54) = 3\) (denn \(54 = 2 \cdot 3^3\)), \(v_3(7) = 0\), \(v_3(81) = 4\).
Der \(p\)-adische Betrag ist:
Je mehr \(p\)-Potenzen eine Zahl enthält, desto kleiner ihr \(p\)-adischer Betrag. Für \(p = 5\):
| Zahl \(x\) | \(v_5(x)\) | \(\|x\|_5\) | \(\|x\|\) (gewöhnlich) |
|---|---|---|---|
| \(1\) | \(0\) | \(1\) | \(1\) |
| \(5\) | \(1\) | \(1/5\) | \(5\) |
| \(25\) | \(2\) | \(1/25\) | \(25\) |
| \(625\) | \(4\) | \(1/625\) | \(625\) |
| \(1/5\) | \(-1\) | \(5\) | \(0{,}2\) |
Die Zahl \(625\) ist \(5\)-adisch nahe \(0\) (Betrag \(1/625\)), gewöhnlich jedoch groß.
2. Konvergenz in \(\mathbb{Q}_p\)¶
Der \(p\)-adische Betrag definiert eine Metrik auf \(\mathbb{Q}\): \(d_p(x, y) = |x - y|_p\). In dieser Metrik gelten Konvergenzaussagen, die aus Sicht der reellen Analysis unerwartet sind.
Beispiel: Die Reihe \(\sum_{n=0}^{\infty} p^n\) konvergiert in \(\mathbb{Q}_p\).
Die Partialsummen \(S_N = 1 + p + p^2 + \cdots + p^N\) konvergieren \(p\)-adisch, weil \(|p^n|_p = p^{-n} \to 0\). Der Grenzwert:
In \(\mathbb{Q}_5\) gilt also \(1 + 5 + 25 + 125 + \cdots = -\frac{1}{4}\). Das klingt paradox, ist \(5\)-adisch aber korrekt.
„The \(p\)-adic numbers are just as 'real' as the real numbers — they are simply a different completion of the rationals." — Fernando Gouvêa, p-adic Numbers: An Introduction (1997), S. 1
Die ultrametrische Ungleichung¶
Der \(p\)-adische Betrag erfüllt eine stärkere Eigenschaft als die Dreiecksungleichung:
Die ultrametrische Ungleichung (oder „starke Dreiecksungleichung") hat Konsequenzen:
- Jedes Dreieck in \(\mathbb{Q}_p\) ist gleichschenklig (die beiden längsten Seiten sind gleich lang)
- Jeder Punkt eines „Kreises" ist dessen Mittelpunkt
- Reihen konvergieren genau dann, wenn ihre Summanden gegen \(0\) gehen (kein Quotientenkriterium nötig)
3. Konstruktion von \(\mathbb{Q}_p\)¶
Die reellen Zahlen \(\mathbb{R}\) entstehen als Vervollständigung von \(\mathbb{Q}\) bezüglich des gewöhnlichen Betrags \(|\cdot|\): Hinzufügen der Grenzwerte aller Cauchy-Folgen.
Analog: Die \(p\)-adischen Zahlen \(\mathbb{Q}_p\) sind die Vervollständigung von \(\mathbb{Q}\) bezüglich des \(p\)-adischen Betrags \(|\cdot|_p\).
Formal: \(\mathbb{Q}_p\) ist der Quotientenkörper der Cauchy-Folgen in \((\mathbb{Q}, |\cdot|_p)\) modulo Nullfolgen. Jedes Element von \(\mathbb{Q}_p\) lässt sich eindeutig als \(p\)-adische Entwicklung schreiben:
Eine Art „Dezimalentwicklung", aber nach links unendlich statt nach rechts. Die gewöhnliche Dezimaldarstellung \(0{,}333\ldots = 1/3\) hat endlich viele Stellen vor dem Komma und unendlich viele danach. In \(\mathbb{Q}_p\) ist es umgekehrt: endlich viele Stellen nach dem „Komma" (negative \(p\)-Potenzen) und potenziell unendlich viele davor.
4. Ostrowskis Satz¶
Wie viele wesentlich verschiedene Beträge existieren auf \(\mathbb{Q}\)?
Satz (Ostrowski, 1916). Jeder nichttriviale Betrag auf \(\mathbb{Q}\) ist äquivalent zu einem der folgenden:
- Dem gewöhnlichen Betrag \(|\cdot|\) (dessen Vervollständigung \(\mathbb{R}\) liefert)
- Einem \(p\)-adischen Betrag \(|\cdot|_p\) für eine Primzahl \(p\) (dessen Vervollständigung \(\mathbb{Q}_p\) liefert)
\(\mathbb{R}\) und die \(\mathbb{Q}_p\) (für alle Primzahlen \(p\)) sind also die einzigen Vervollständigungen von \(\mathbb{Q}\). Jede Stelle – jede Art, \(\mathbb{Q}\) zu vervollständigen – entspricht entweder dem archimedischen Betrag (\(\infty\)-Stelle) oder einem \(p\)-adischen Betrag (\(p\)-Stelle).
Hasses Prinzip
Die Stellen von \(\mathbb{Q}\) werden als \(v \in \{\infty, 2, 3, 5, 7, \ldots\}\) indiziert. Die lokalen Körper \(\mathbb{Q}_v\) (mit \(\mathbb{Q}_\infty = \mathbb{R}\)) bilden zusammen ein vollständiges Bild der rationalen Zahlen – \(\mathbb{Q}\), betrachtet aus allen lokalen Perspektiven gleichzeitig.
5. Die \(p\)-adischen ganzen Zahlen \(\mathbb{Z}_p\)¶
Der Bewertungsring von \(\mathbb{Q}_p\) besteht aus allen Elementen mit \(p\)-adischem Betrag \(\leq 1\):
\(\mathbb{Z}_p\) ist ein lokaler Ring mit dem einzigen maximalen Ideal \((p) = p\mathbb{Z}_p\). Der Restklassenkörper ist:
Alternative Beschreibung als projektiver Limes:
Ein Element von \(\mathbb{Z}_p\) ist ein kompatibles System \((a_1, a_2, a_3, \ldots)\) von Restklassen: \(a_n \in \mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}\) mit \(a_{n+1} \equiv a_n \pmod{p^n}\).
Eigenschaften von \(\mathbb{Z}_p\):
- \(\mathbb{Z}_p\) ist ein Hauptidealring (sogar ein diskreter Bewertungsring)
- Die Einheiten sind \(\mathbb{Z}_p^\times = \{x \in \mathbb{Z}_p \mid |x|_p = 1\} = \mathbb{Z}_p \setminus p\mathbb{Z}_p\)
- \(\mathbb{Z} \subset \mathbb{Z}_p\) ist dicht (jede \(p\)-adische ganze Zahl ist Limes einer Folge ganzer Zahlen)
- \(\mathbb{Z}_p\) ist kompakt (als topologischer Raum)
6. Hensels Lemma¶
Eines der zentralen Werkzeuge der \(p\)-adischen Analysis – die \(p\)-adische Version des Newtonschen Näherungsverfahrens.
Satz (Hensel). Sei \(f \in \mathbb{Z}_p[x]\) ein Polynom. Wenn \(a \in \mathbb{Z}\) eine einfache Nullstelle von \(f\) modulo \(p\) ist (d.h. \(f(a) \equiv 0 \pmod{p}\) und \(f'(a) \not\equiv 0 \pmod{p}\)), dann existiert eine eindeutige Nullstelle \(\alpha \in \mathbb{Z}_p\) von \(f\) mit \(\alpha \equiv a \pmod{p}\).
Die Konstruktion: Aus einer approximativen Lösung modulo \(p\) wird schrittweise eine exakte Lösung in \(\mathbb{Z}_p\) erzeugt – durch iteriertes Liften modulo \(p^2\), \(p^3\), \(p^4\), und so weiter.
Beispiel: Existiert \(\sqrt{2}\) in \(\mathbb{Q}_7\)? Prüfung: \(3^2 = 9 \equiv 2 \pmod{7}\) und \(2 \cdot 3 = 6 \not\equiv 0 \pmod{7}\). Nach Hensel existiert \(\sqrt{2} \in \mathbb{Z}_7\). Dagegen ist \(x^2 \equiv 2 \pmod{5}\) unlösbar, also \(\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}_5\).
Hensel als Reduktionswerkzeug
Hensels Lemma reduziert \(p\)-adische Fragen auf endliche Rechnungen modulo \(p\). Statt im unendlichen Körper \(\mathbb{Q}_p\) zu arbeiten, genügt es oft, im endlichen Körper \(\mathbb{F}_p\) zu rechnen – und dann zu liften.
7. Das Lokal-Global-Prinzip¶
Die zentrale Idee: Informationen über \(\mathbb{Q}\) lassen sich aus der Kombination aller lokalen Informationen (über \(\mathbb{R}\) und alle \(\mathbb{Q}_p\)) gewinnen.
Hasse-Minkowski-Theorem. Eine quadratische Form über \(\mathbb{Q}\) hat genau dann eine nichttriviale Lösung in \(\mathbb{Q}\), wenn sie eine Lösung in \(\mathbb{R}\) und in \(\mathbb{Q}_p\) für alle Primzahlen \(p\) hat.
Dieses Lokal-Global-Prinzip funktioniert für quadratische Formen, aber nicht immer. Für kubische Gleichungen und elliptische Kurven kann es versagen: Es gibt Kurven mit lokalen Punkten überall, aber ohne globalen rationalen Punkt. Das Maß für dieses Versagen ist die Tate-Shafarevich-Gruppe \(\Sha\).
Lokale Bedingungen in Wiles' Beweis¶
In Wiles' Beweis spielen die lokalen Körper \(\mathbb{Q}_p\) eine fundamentale Rolle:
-
Reduktion modulo \(p\): Eine elliptische Kurve \(E/\mathbb{Q}\) kann modulo jeder Primzahl \(p\) betrachtet werden, was eine Kurve \(\tilde{E}/\mathbb{F}_p\) liefert. Ob diese Reduktion glatt ist oder Singularitäten hat, bestimmt den Typ der Kurve an der Stelle \(p\).
-
Lokale Galois-Darstellungen: Die Einschränkung \(\rho|_{G_{\mathbb{Q}_p}}\) einer Galois-Darstellung auf die lokale Galois-Gruppe kodiert das Verhalten der Darstellung an der Stelle \(p\). Die Deformationstheorie von Mazur klassifiziert Darstellungen nach ihren lokalen Eigenschaften.
-
Semistabilität: Eine elliptische Kurve heißt semistabil, wenn sie an jeder Stelle \(p\) entweder gute oder multiplikative Reduktion hat. Wiles bewies die Taniyama-Shimura-Vermutung zunächst nur für semistabile Kurven – ausreichend für FLT, da die Frey-Kurve semistabil ist.
„The interplay between the local and the global is one of the central themes of modern number theory." — Neal Koblitz, p-adic Numbers, p-adic Analysis, and Zeta-Functions (1984), Vorwort
Quellen¶
- Nigel Boston: The Proof of Fermat's Last Theorem (2003), Kapitel 5
- Neal Koblitz: p-adic Numbers, p-adic Analysis, and Zeta-Functions, Springer (1984)
- Fernando Gouvêa: p-adic Numbers: An Introduction, Springer (1997)