Gleichungen und äquivalente Umformungen¶
Was ist eine Gleichung?¶
Eine Gleichung ist eine Aussage der Form \(A = B\), wobei \(A\) und \(B\) mathematische Ausdrücke sind. Das Gleichheitszeichen „\(=\)" bedeutet: Beide Seiten repräsentieren denselben Wert.
Beispiele.
- \(3 + 4 = 7\) — eine wahre Aussage.
- \(2x + 1 = 9\) — eine Aussage, deren Wahrheitswert von \(x\) abhängt. Für \(x = 4\): wahr. Für \(x = 3\): falsch.
Äquivalenzumformungen¶
Eine Äquivalenzumformung verändert eine Gleichung so, dass die Lösungsmenge erhalten bleibt. Die neue Gleichung hat exakt dieselben Lösungen wie die ursprüngliche.
Erlaubte Operationen¶
| Operation | Formel | Bedingung |
|---|---|---|
| Addition auf beiden Seiten | \(A = B \iff A + c = B + c\) | — |
| Subtraktion auf beiden Seiten | \(A = B \iff A - c = B - c\) | — |
| Multiplikation auf beiden Seiten | \(A = B \iff A \cdot c = B \cdot c\) | \(c \neq 0\) |
| Division auf beiden Seiten | \(A = B \iff \frac{A}{c} = \frac{B}{c}\) | \(c \neq 0\) |
Das Prinzip: Dieselbe Operation wird auf beide Seiten angewandt. Die Gleichung bleibt im Gleichgewicht.
Beispiel: Lösung von \(2x + 3 = 11\)¶
| Schritt | Gleichung | Operation |
|---|---|---|
| 1 | \(2x + 3 = 11\) | Ausgangsgleichung |
| 2 | \(2x = 8\) | \(-3\) auf beiden Seiten |
| 3 | \(x = 4\) | \(\div 2\) auf beiden Seiten |
Jede Zeile hat dieselbe Lösungsmenge: \(\{4\}\).
Keine Äquivalenzumformungen¶
Nicht jede Operation erhält die Lösungsmenge:
- Multiplikation mit 0: Aus \(x = 3\) wird \(0 = 0\) — jedes \(x\) ist jetzt „Lösung". Lösungsmenge vergrößert.
- Quadrieren: Aus \(x = -2\) wird \(x^2 = 4\), was auch \(x = 2\) als Lösung hat. Lösungsmenge vergrößert.
- Division durch einen Ausdruck mit der Variablen: Aus \(x^2 = 2x\) folgt durch Division durch \(x\): \(x = 2\). Die Lösung \(x = 0\) geht verloren.
Gleichungen mit Brüchen¶
Bei Bruchgleichungen werden beide Seiten mit dem Hauptnenner multipliziert:
Beispiel. \(\frac{x}{3} + \frac{1}{2} = \frac{5}{6}\)
Multiplikation mit \(6\) (kgV von \(3, 2, 6\)):
Systeme von Gleichungen¶
Ein Gleichungssystem besteht aus mehreren Gleichungen mit mehreren Unbekannten. Die Lösung muss alle Gleichungen gleichzeitig erfüllen.
Beispiel. \(\begin{cases} x + y = 5 \\ x - y = 1 \end{cases}\)
Addition beider Gleichungen: \(2x = 6\), also \(x = 3\). Einsetzen: \(y = 2\).
Zusammenfassung¶
| Begriff | Bedeutung |
|---|---|
| Gleichung | Aussage \(A = B\) |
| Äquivalenzumformung | Operation, die die Lösungsmenge erhält |
| Erlaubt | \(+c\), \(-c\), \(\cdot c\) (\(c \neq 0\)), \(\div c\) (\(c \neq 0\)) auf beiden Seiten |
| Nicht erlaubt | \(\cdot 0\), Quadrieren, Division durch Variable (ohne Fallunterscheidung) |
Quellen¶
- Courant, Richard; Robbins, Herbert: What Is Mathematics? Oxford University Press, 2. Auflage, 1996.