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Krümmung von Flächen (Gauß)

„Theorema Egregium: Die Gauß-Krümmung ist eine intrinsische Größe – sie hängt nur von der ersten Fundamentalform ab, nicht davon, wie die Fläche eingebettet ist." — Carl Friedrich Gauß, Disquisitiones generales circa superficies curvas, 1827.

Die Gauß-Krümmung ist der historische Ausgangspunkt der modernen Differentialgeometrie. Sie misst, wie eine Fläche in einem Punkt gekrümmt ist – und Gauß' Entdeckung, dass diese Größe intrinsisch ist, ist das Sprungbrett zu Schnitt-, Ricci- und Skalar-Krümmung im Hochdimensionalen.

1. Hauptkrümmungen

Sei \(\Sigma \subset \mathbb{R}^3\) eine glatte Fläche und \(p \in \Sigma\). Wähle eine Einheitsnormale \(\nu(p)\). Schneidet man \(\Sigma\) mit einer Ebene durch \(p\), die \(\nu(p)\) enthält, erhält man eine ebene Kurve mit einer Normalkrümmung \(\kappa\).

Lässt man die Schnittebene um \(\nu(p)\) rotieren, schwankt \(\kappa\) zwischen einem Minimum \(\kappa_2\) und einem Maximum \(\kappa_1\). Diese beiden Extremalwerte heißen Hauptkrümmungen an \(p\) (Euler 1760, ausgearbeitet von Meusnier 1776).

Daraus definiert man:

  • Gauß-Krümmung: \(K = \kappa_1 \kappa_2\).
  • Mittlere Krümmung: \(H = \tfrac{1}{2}(\kappa_1 + \kappa_2)\).
Fläche \(K\) Vorzeichen
Ebene \(0\) flach
Sphäre Radius \(R\) \(1/R^2\) positiv
Zylinder \(0\) flach (eine Hauptkrümmung verschwindet)
Sattel-Fläche \(< 0\) hyperbolisch
Pseudosphäre \(-1\) konstant hyperbolisch

2. Erste und zweite Fundamentalform

Lokal lässt sich \(\Sigma\) als \(\mathbf r(u, v)\) parametrisieren. Die erste Fundamentalform beschreibt das Längenmessen auf \(\Sigma\): $$ \mathrm{I} = E\, \mathrm{d}u^2 + 2F\, \mathrm{d}u\, \mathrm{d}v + G\, \mathrm{d}v^2, \quad E = \mathbf r_u \cdot \mathbf r_u,\ F = \mathbf r_u \cdot \mathbf r_v,\ G = \mathbf r_v \cdot \mathbf r_v. $$ Sie ist die Riemannsche Metrik der Fläche (siehe Tangentialraum und Tensoren).

Die zweite Fundamentalform misst, wie sich die Normalenrichtung mit dem Punkt ändert: $$ \mathrm{II} = L\, \mathrm{d}u^2 + 2M\, \mathrm{d}u\, \mathrm{d}v + N\, \mathrm{d}v^2, \quad L = \mathbf r_{uu} \cdot \nu, \dots $$ Sie kennt die Einbettung der Fläche.

In dieser Sprache ist $$ K = \frac{LN - M^2}{EG - F^2}. $$

3. Theorema Egregium

Gauß' überraschende Entdeckung (1827): $$ K \text{ hängt nur von } E, F, G \text{ und ihren Ableitungen ab.} $$ Das heißt: Wer auf der Fläche mit Längen- und Winkelmessungen lebt, ohne den umgebenden \(\mathbb{R}^3\) zu kennen, kann \(K\) trotzdem berechnen. \(K\) ist also ein intrinsisches Datum der Riemannschen Metrik.

Konsequenz: Eine Sphäre kann nicht auf eine Ebene abgewickelt werden, ohne Strecken zu verzerren – jede Weltkarte lügt.

4. Geodätische Dreiecke und Gauß-Bonnet

Auf einer Fläche mit Krümmung \(K\) ergibt sich der Winkelsummensatz für Geodätendreiecke: $$ \alpha + \beta + \gamma - \pi = \int_T K\, \mathrm{d}A. $$ Auf der Sphäre (\(K = 1/R^2 > 0\)) ist die Winkelsumme größer als \(\pi\), auf einer hyperbolischen Fläche (\(K < 0\)) kleiner.

Das Theorema von Gauß-Bonnet verallgemeinert dies auf geschlossene Flächen: $$ \int_\Sigma K\, \mathrm{d}A = 2\pi\, \chi(\Sigma), $$ wobei \(\chi(\Sigma)\) die Euler-Charakteristik ist. Für \(\Sigma = S^2\) ergibt das \(\chi(S^2) = 2\), für den Torus \(\chi(T^2) = 0\). Diese Formel ist die Brücke zwischen Krümmung (Analysis) und Topologie (was die Fläche „ist") – das gleiche Bauprinzip, das Perelmans Beweis der finiten Extinktion in Akt 3, Artikel 05 auf der 2-Sphäre wieder verwendet.

5. Vom Spezialfall zur höherdimensionalen Krümmung

In \(n\) Dimensionen verallgemeinert sich \(K\) zur Schnittkrümmung \(\sec(P)\) einer 2-Ebene \(P \subset T_p M\). Mittelt man über alle Schnitt-Ebenen, die einen Vektor \(v\) enthalten, erhält man die Ricci-Krümmung \(\mathrm{Ric}(v, v)\). Mittelt man weiter über alle Richtungen, erhält man die Skalar-Krümmung \(R\). Die Gauß-Krümmung ist also der zweidimensionale Großvater des gesamten Krümmungs-Zoos (Akt 2, Artikel 02).

Querverweise

Quellen

  • do Carmo, Manfredo P. (1976). Differential Geometry of Curves and Surfaces. Prentice Hall. Kap. 3–4.
  • Spivak, Michael (1999). A Comprehensive Introduction to Differential Geometry, Vol. 2. Publish or Perish, 3. Auflage.
  • Gauß, Carl Friedrich (1827). Disquisitiones generales circa superficies curvas.
  • Lee, John M. (2018). Introduction to Riemannian Manifolds. Springer GTM 176, 2. Auflage. Kap. 8.