Implikation und Äquivalenz¶
Implikation (⟹)¶
Die Implikation \(A \Rightarrow B\) („aus \(A\) folgt \(B\)", „wenn \(A\), dann \(B\)") ist nur dann falsch, wenn \(A\) wahr und \(B\) falsch ist.
| \(A\) | \(B\) | \(A \Rightarrow B\) |
|---|---|---|
| w | w | w |
| w | f | f |
| f | w | w |
| f | f | w |
Zentrale Beobachtung: Ist die Voraussetzung \(A\) falsch, ist die Implikation immer wahr – unabhängig von \(B\). Diese Konvention heißt ex falso quodlibet.
Beispiel. „Wenn \(n\) durch 6 teilbar ist, dann ist \(n\) durch 3 teilbar." → Für \(n = 12\): wahr ⟹ wahr = wahr. Für \(n = 5\): falsch ⟹ falsch = wahr.
Äquivalenz zu ¬A ∨ B¶
Die Implikation \(A \Rightarrow B\) ist logisch äquivalent zur Disjunktion \(\neg A \lor B\):
| \(A\) | \(B\) | \(\neg A\) | \(\neg A \lor B\) | \(A \Rightarrow B\) |
|---|---|---|---|---|
| w | w | f | w | w |
| w | f | f | f | f |
| f | w | w | w | w |
| f | f | w | w | w |
Die Spalten stimmen überein. Das bedeutet: „Wenn \(A\), dann \(B\)" sagt dasselbe wie „\(A\) ist falsch oder \(B\) ist wahr".
Kontraposition¶
Die Kontraposition einer Implikation \(A \Rightarrow B\) ist \(\neg B \Rightarrow \neg A\). Beide sind logisch äquivalent:
Beispiel. „Wenn \(n^2\) gerade ist, dann ist \(n\) gerade." Die Kontraposition lautet: „Wenn \(n\) ungerade ist, dann ist \(n^2\) ungerade." Beide Aussagen sind gleichwertig.
Die Kontraposition ist ein häufig genutztes Beweismittel: Statt \(A \Rightarrow B\) direkt zu zeigen, zeigt man \(\neg B \Rightarrow \neg A\).
Umkehrung¶
Die Umkehrung von \(A \Rightarrow B\) ist \(B \Rightarrow A\). Die Umkehrung ist nicht automatisch äquivalent zur Originalaussage.
Beispiel. „Wenn \(n\) durch 6 teilbar ist, dann ist \(n\) durch 3 teilbar." → wahr. Umkehrung: „Wenn \(n\) durch 3 teilbar ist, dann ist \(n\) durch 6 teilbar." → falsch (\(n = 9\)).
Äquivalenz (⟺)¶
Die Äquivalenz \(A \Leftrightarrow B\) („\(A\) genau dann, wenn \(B\)") ist wahr, wenn beide Aussagen denselben Wahrheitswert haben:
| \(A\) | \(B\) | \(A \Leftrightarrow B\) |
|---|---|---|
| w | w | w |
| w | f | f |
| f | w | f |
| f | f | w |
Die Äquivalenz entspricht der Konjunktion beider Richtungen:
Beispiel. „\(n\) ist gerade \(\Leftrightarrow\) \(n^2\) ist gerade." Beide Richtungen gelten, also liegt Äquivalenz vor.
Zusammenfassung¶
| Verknüpfung | Symbol | Bedeutung |
|---|---|---|
| Implikation | \(A \Rightarrow B\) | „wenn \(A\), dann \(B\)"; äquivalent zu \(\neg A \lor B\) |
| Kontraposition | \(\neg B \Rightarrow \neg A\) | äquivalent zu \(A \Rightarrow B\) |
| Umkehrung | \(B \Rightarrow A\) | nicht äquivalent zu \(A \Rightarrow B\) |
| Äquivalenz | \(A \Leftrightarrow B\) | beide Richtungen gelten |
Quellen¶
- Ebbinghaus, H.-D.; Flum, J.; Thomas, W.: Einführung in die mathematische Logik. Springer, 6. Auflage, 2018. Kapitel 1.
- Velleman, Daniel J.: How to Prove It. Cambridge University Press, 3. Auflage, 2019. Kapitel 2.