Zahlenbereiche

Die Erweiterungskette

\[ \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C} \]

Jede Erweiterung löst ein Problem, das im vorherigen Zahlenbereich unlösbar war.

Natürliche Zahlen (ℕ)

\[ \mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, \ldots\} \]

Geeignet für: Zählen, Addition, Multiplikation.

Problem: Die Gleichung \(x + 3 = 1\) hat keine Lösung in \(\mathbb{N}\).

Ganze Zahlen (ℤ)

\[ \mathbb{Z} = \{\ldots, -2, -1, 0, 1, 2, \ldots\} \]

Erweiterung von \(\mathbb{N}\) um negative Zahlen. Subtraktion ist uneingeschränkt möglich.

Problem: Die Gleichung \(2x = 3\) hat keine Lösung in \(\mathbb{Z}\).

Rationale Zahlen (ℚ)

\[ \mathbb{Q} = \left\{\frac{a}{b} : a \in \mathbb{Z},\; b \in \mathbb{Z} \setminus \{0\}\right\} \]

Erweiterung von \(\mathbb{Z}\) um Brüche. Division (außer durch \(0\)) ist uneingeschränkt möglich.

Rationale Zahlen haben entweder eine endliche oder eine periodische Dezimaldarstellung: \(\frac{1}{4} = 0{,}25\), \(\frac{1}{3} = 0{,}\overline{3}\).

Problem: Die Gleichung \(x^2 = 2\) hat keine Lösung in \(\mathbb{Q}\) (denn \(\sqrt{2}\) ist irrational).

Reelle Zahlen (ℝ)

\(\mathbb{R}\) umfasst alle Punkte auf der Zahlengeraden: rationale und irrationale Zahlen.

Irrationale Zahlen haben eine nicht-periodische, unendliche Dezimaldarstellung: \(\sqrt{2} = 1{,}41421\ldots\), \(\pi = 3{,}14159\ldots\)

\(\mathbb{R}\) ist vollständig: Jede Cauchy-Folge konvergiert in \(\mathbb{R}\).

Problem: Die Gleichung \(x^2 = -1\) hat keine Lösung in \(\mathbb{R}\).

Komplexe Zahlen (ℂ)

\[ \mathbb{C} = \{a + bi : a, b \in \mathbb{R}\}, \quad i^2 = -1 \]

Erweiterung von \(\mathbb{R}\) um die imaginäre Einheit \(i\). Jede polynomielle Gleichung hat in \(\mathbb{C}\) eine Lösung (Fundamentalsatz der Algebra).

Beispiel. \(x^2 + 1 = 0\) hat die Lösungen \(x = i\) und \(x = -i\).

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Zusammenfassung

Zahlenbereich	Symbol	Neue Eigenschaft	Unlösbares Problem
Natürliche Zahlen	\(\mathbb{N}\)	Zählen	\(x + 3 = 1\)
Ganze Zahlen	\(\mathbb{Z}\)	Subtraktion	\(2x = 3\)
Rationale Zahlen	\(\mathbb{Q}\)	Division	\(x^2 = 2\)
Reelle Zahlen	\(\mathbb{R}\)	Vollständigkeit	\(x^2 = -1\)
Komplexe Zahlen	\(\mathbb{C}\)	Algebraisch abgeschlossen	—

Quellen

• Ebbinghaus, H.-D. et al.: Numbers. Springer, 1991.
• Courant, Richard; Robbins, Herbert: What Is Mathematics? Oxford University Press, 2. Auflage, 1996. Kapitel 2.